什麼是固有頻率？

本文首發於我的公眾號：《模態空間》。

從事振動雜訊等NVH領域工作，即使不是NVH領域，如橋樑動態檢測等等其他領域，也需要與結構的固有頻率打交道。那什麼是固有頻率；為什麼結構有如此多「階」固有頻率；它與共振頻率又有什麼區別和聯繫；避免共振時，激勵頻率應離固有頻率多遠等等這些問題，您都清楚嗎？

本文主要內容包括：

1. 固有頻率的定義；

2. 影響因素；

3. 為什麼存在多階固有頻率；

4. 主頻和基頻；

5. 與共振頻率的區別與聯繫；

6. 避免共振，激勵頻率須離固有頻率多遠？

1. 固有頻率的定義

結構系統在受到外界激勵產生運動時，將按特定頻率發生自然振動，這個特定的頻率被稱為結構的固有頻率，通常一個結構有很多個固有頻率。固有頻率與外界激勵沒有關係，是結構的一種固有屬性。不管外界有沒有對結構進行激勵，結構的固有頻率都是存在的，只是當外界有激勵時，結構是按固有頻率產生振動響應的。

對於無阻尼單自由系統而言，如下圖所示，固有頻率計算公式定義如下：

單位為Hz，表示一秒鐘振動循環次數。也可以用圓頻率（也稱角頻率）來表示固有頻率，公式如下：

單位為rad/s。在這考慮的是無阻尼的情況，因此，獲得的固有頻率為無阻尼固有頻率。 對於一般性結構系統而言，如下圖所示，都是有阻尼的，因此它的固有頻率為有阻尼固有頻率。無阻尼固有頻率與有阻尼固有頻率的關係如下：

假設阻尼比ξ=10%，則ωd=0.99499ωn，因此，阻尼對結構的固有頻率影響不大，更何況現實世界中，除了含有主動阻尼機制的結構外，如減振器，一般結構的阻尼比都遠小於10%。通常現實世界中測試所得到的固有頻率都是有阻尼固有頻率。以下沒有特殊說明時，都是指有阻尼固有頻率。

2. 影響因素

從上面的公式我們可以看出，結構的固有頻率只受剛度分布和質量分布的影響，而阻尼對固有頻率的影響非常有限。而在百度百科中說固有頻率受形狀、材質的影響，我個人覺得是不準確的。材質不同，其材料屬性（密度、楊氏模量和泊松比等）不同，影響的最終參數還是質量和剛度,而形狀不同,影響也是這兩個參數。

因此，影響固有頻率的只有質量和剛度，而其他任何因素，最終影響的也是這兩個因數。如結構的邊界條件不同，固有頻率必然不同，這是因為邊界條件會影響到結構的剛度分布。

質量增大，結構的固有頻率必然降低；剛度增大，結構的固有頻率必然增大。但是剛度繼續增大，固有頻率不會無限增大，只會增大一定距離。剛度增加越快，頻率移動越慢。這是因為，結構的共振峰對應的是固有頻率，剛度增大後，結構的固有頻率會向上移動靠近反共振峰，在《什麼是動剛度？》是不是說明過，反共振峰對應的剛度是無限大的。因此，剛度無限增大，結構的固有頻率向上移動不超過反共振峰對應的頻率，所以剛度增大只能使固有頻率增大一定距離，如下圖所示。

3. 為什麼存在多階固有頻率

我們在對結構系統進行固有頻率測試時，通常能得到多階固有頻率，如下圖所示，是對某結構進行固有頻率測試。在這個FRF圖中存在多個峰值，而每個峰值對應一階固有頻率，因此，結構存在多階固有頻率。那麼為什麼結構存在多階固有頻率？階跟什麼有關係？

在高中物理課本中，我們就學習過單自由度系統的固有頻率公式。用的是單自由度的彈簧-集中質量模型，如下面左圖所示。其運動方程為正弦波Asinωt（簡諧運動），對應一階固有頻率。對於兩自由度系統而言，如下面中圖所示，運動方程是兩個正弦波疊加的結果，因而，對應兩階固有頻率。同時，三自由度系統對應三個正弦波，因而，有三階固有頻率。

因此，似乎「階」與自由度相對應：1個自由度對應1階固有頻率（或者是1階模態），情況的確是這樣的。自由度是指用於確定結構在空間上運動所需要的最少、獨立的坐標個數。質點有三個平動自由度；剛體有六個自由度，分別為三個平動和三個轉動自由度。

一個連續體或彈性體實際上有無窮多個自由度，此時，任意連續結構都可以看成是無限多個微剛體組成的，每個微剛體有6個自由度，因而，我們可以認為任意連續結構具有無限多個自由度，但是，所有這些結構又可以近似地看作是由有限個微剛體組成的（比方有限元分析時只能劃分有限數量的單元），因此又可以認為連續結構具有有限個自由度。該自由度數決定了解析質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的維數，也決定上理論上存在的固有頻率階數和模態振型階數。

雖然連續體在理論上是有無限多階固有頻率，但很多情況下我們只關心低階的固有頻率或者特定階的固有頻率。這是因為固有頻率越低，越容易被外界所激勵起來。另外，結構也可能受到特定的激勵，如在某恆定轉速下運行，因此，也可能關心特定階的固有頻率。

4. 基頻和主頻

NVH測試過程中，經常講基頻、主頻，它們跟固有頻率有什麼區別與聯繫呢？

基頻是指結構的第一階固有頻率。結構發生振動時，通常不會是以某一個頻率振動，而是有多個振動頻率，通常在這些振動頻率中，能量最大的振動頻率稱為主頻。因此，這個主頻可能是結構的固有頻率，也可能是強迫響應頻率。 如下圖所示的PSD曲線中，存在三個峰值（假設都是固有頻率），因而這三個峰值對應三階固有頻率，其中最低階的固有頻率為基頻，峰值最大的頻率為主頻。基頻一定是固有頻率，主頻可能不一定是結構的固有頻率，主頻主要看的是能量的大小。因為我們知道，當結構產生強迫振動時，振動的頻率是與外界激勵頻率相等的，但此時，這個激勵頻率很大程度上不是結構的固有頻率，而它的能量又是最大的，此時，主頻就不是固有頻率。

在二維頻譜圖中，並不是所有的峰值對應的都是固有頻率，這是因為，有可能是激勵頻率或者是它的倍頻，而這些頻率都不是固有頻率。因此，在進行固有頻率測試時，經常通過測量頻響函數的方式來測量，因為頻率函數中的峰值對應的都是系統的固有頻率，不會存在強迫的激勵頻率。

5. 與共振頻率的區別與聯繫

共振是指系統受到外界激勵時產生的響應表現為大幅度的振動，此時外界激勵頻率與系統的固有振動頻率相同或者非常接近。共振是一種現象，共振發生時的頻率稱為共振頻率。不管共振發生與否，結構的固有頻率是不變的，而只有當外界的激勵頻率接近或等於系統的固有頻率時，系統才發生共振現象。

當結構的阻尼非常小時，共振頻率近似等於結構的固有頻率，也是材料自身分子的自由振動頻率。因而，單個共振是外界的激勵頻率等於或非常接近結構或材料的固有頻率時，結構或材料發生大幅度的振動。共振時，結構的振動非常劇烈，這將導致不可預料的行為。因此，通常都要避免共振，但也有利用共振原理的，如振動篩。

當激勵頻率與固有頻率相等或接近時，才發生共振。因而，共振頻率不一定完全與固有頻率相等，共振頻率是按外界的激勵頻率來講的，而固有頻率是從結構來講的。雖然很多情況下，都認為共振頻率就是固有頻率。 在頻響函數曲線中，共振峰所對應的頻率為結構的固有頻率，如下圖所示。但很多情況，共振不是發生在單一頻率（固有頻率）處，而是具有一定寬度的共振帶。也就是存在一個頻率區間，在這個區間內很容易發生共振。

在colormap圖中，經常可以看到如下所示的垂直頻率軸的具有一定寬度的高亮區域，這個區域就是所謂的共振帶區域。這個區域一定是在結構的某一階固有頻率附近。從圖中可以看出，共振區域並不隨轉速的變化而變化，而是始終垂直頻率軸。這是因為結構的固有頻率是結構的固有屬性，跟外界激勵沒有關係。

隨著轉速的增加，對應的轉頻也在增加，因此，階次是斜線，而共振頻率是不隨轉速變化而變化的，因此，共振頻率是垂直頻率軸的。如下圖所示，在左側的瀑布圖中，斜線都是階次線，如圖中綠色線條所示，在右側的瀑布圖中，存在兩個明顯的共振帶，該共振帶垂直頻率軸，如圖中黃色線條所示，注意下面的瀑布圖橫軸都是頻率。

6. 避免共振，激勵頻率須離固有頻率多遠

當外界激勵頻率接近系統的固有頻率時，系統會發生共振現象，那麼，激勵頻率離固有頻率多遠時，才能避免共振呢？或者說，共振帶一般在固有頻率附近多寬的區間？ 在下面左圖中，對3個不同的單自由度系統進行激勵，激勵頻率相同，但是紫色的單自由度系統的固有頻率是激勵頻率的0.4倍，藍色單自由度系統的固有頻率是激勵頻率的1.01倍，紅色單自由度系統的固有頻率是激勵頻率的1.6倍。

從三者的運動軌跡可以明顯看出，藍色單自由度系統振動幅值最大，其次是紫色單自由系統，最小的是紅色單自由度系統。而藍色單自由度系統的振動幅值遠大於其他兩個系統。那麼，激勵頻率離固有頻率多遠才能起到避免共振的作用？ 還是用懸置隔振這張圖，縱軸為傳遞率，橫軸為激勵頻率與固有頻率之比。從圖上可以看出，傳遞率等於1時，對應的激勵頻率與固有頻率之比為1.414，如圖中紅點所示。因此，只有當激勵頻率大於固有頻率40%以上時才能起到避免共振的作用或者起到隔振的作用。但這是從隔振層次來說的，如懸置為了滿足隔振要求，激勵頻率應是動力總成剛成模態頻率的2-3倍，即下圖中陰影區域。

很多情況下，要考慮40%以上的頻率間隔，似乎是不現實的，因此，很難給出一定具體的數字來確定到底應該須離固有頻率多遠的距離。但是，也有一些行業普遍認同的觀點，如在汽車行業，一般要求是距固有頻率有3，4Hz的間隔或者15-20%的距離。如B級車白車身第一階模態在30Hz附近，15%的頻率間隔，則對應4.5Hz，跟3，4Hz的間離也非常接近。

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