鄰域與黑幫-數學分析

01-27

我的個人博客：http://www.limoncc.com

有人問這樣一個問題：

鏈接：什麼是極限點，孤立點？極限點，內點，邊界點和孤立點的聯繫？極限點是不是等於內點+邊界點？ - 引線小白的回答

我們來形象解釋一下：

想像1：

----------------------------

如果某國 $S$ 有一個無限人數組成的黑幫 $A={x in R mid x ,is ,a ,member, of ,the ,gang} subset S$

說 x 是內點：意思是說 x 在某種關係下所有小弟（包括他自己）是黑幫的成員。顯然x 自己是黑幫成員

說 x 是外點：意思是說 x 在某種關係下的所有小弟（包括他自己）都不是的黑幫成員，顯然x 自己不是黑幫成員

說 x 是邊界點：意思是說 x 所有各種關係下的有一部分小弟（包括他自己）都是的黑幫成員，顯然x 自己可能是，也可能不是黑幫成員

說 x 是孤立點：意思是說 x 在所有關係下的小弟（不包括他自己）都不是的黑幫成員，但是他自己是黑幫成員，所以孤立點這個名詞：還是非常形象的。顯然孤立點是邊界點的成員並且是黑幫成員。

-----------理解八卦一下-----------------

1、可見孤立點 $x_0$ 是忠誠的，那麼他應該是黑幫最可以信賴的人，因為他只和組織 A 有關係 $x_0in A$ 。但是關係似乎不是很好，是個獨行俠。是一把利刃。但是不忠誠的話，也有可能是警方卧底。因為他和組織外有關係。

2、內點，很顯然他們組織的基礎。孤立點是邊界點中，是黑幫成員那一部分。

3、邊界點是組織要提防的爭取的人。

4、外點，顯然不是非常重要的。

同理：某國 S有一個有限人數組成的黑幫，上述定義也是有意義的。

------------繼續思考--------------------

我們來繼續考慮 S國的一個無限人數組成的黑幫A

x 是極限點：意思是說 x 在所有各種關係（不包括他自己）總有一個小弟是黑幫成員。顯然x 自己可能是，也可能不是黑幫成員。

x 是聚點：意思是說 x 在所有各種關係下有無數個小弟是黑幫成員。

-----------理解八卦一下-----------------

1、我們發現極限點和聚點其實是一個意思。證明請看 bady rudin 2.20定理。還有一些書上有附著點 x 的定義，是一個意思。

2、顯然聚點：是帶特殊關係的黑幫成員或者是非黑幫成員。通過組織其他的人，總可以環環相扣找到他聚點。

3、如果聚點不是黑幫成員，可以設想他是某個高官。是這個黑幫的後台，但是不是黑幫成員，但是通過組織其他的人，總可以環環相扣找到他。

4、如果聚點是黑幫成員，可以想想，他混的不錯，是個能人

想像2：

----------------------------

如果某國 S有一個有限人數組成的黑幫 B

我們可以發現，黑幫B 中沒有極限點。證明請看baby rudin 2.20定理。

----------------------------

解釋：

$exists r >0,,U(x_0,r)={x in S mid d(x,x_0)<r}$ ：某種關係下的小弟（包括他自己）

$forall r >0,,U(x_0,r)={x in S mid d(x,x_0)<r}$ ：所有各種關係下的小弟（包括他自己）

$forall r >0,,mathring{U}(x_0,r)={x in S-{x_0}mid d(x,x_0)<r}$ ：所有各種關係（不包括他自己）的小弟

顯然我們思考有限和無限時，內、邊、外和孤是可以的。對於無限，還有聚點的概念。而且有 Weierstrass Theorem魏爾斯特拉斯聚點定理：

$Bbb{R}^n$ 中每個有界無限子集在 $Bbb{R}^n$ 中有聚點。

換句話說，

每個黑幫都有一個強大的高官後台或者內部的能人。

這就是神秘無限世界的一瞥。