「泛談」微分流形

這次僅僅是為了完整性而去補齊流形的基本概念，沒任何特別的東西(=^???^=)~~~~

1，什麼是拓撲空間？

簡單地說，定義了「什麼樣的子集是開子集」的集合就成為了一個拓撲空間。有了「開子集」的定義我們就能進一步定義拓撲空間之間映射的連續性，進一步定義「緊緻性」，「連通性」，「同倫性」，「同胚」等概念。這個最基礎的定義將幫我們打開新世界的大門…………

2，什麼是微分流形？

粗略地說，微分流形首先是一個拓撲空間，其局部同胚於n維歐式空間，且在不同開子集相交部分保證坐標光滑轉移。可見，微分流形就是賦予了微分結構的拓撲空間。初步來看，這個微分結構最直接的結果是給流形的每個開子集中的每個點賦予坐標，並且可以進行光滑的坐標變換。但事實遠遠不止如此，這個微分結構能夠引出一系列有趣的概念……

3，微分結構能帶來什麼？

首先，我們可以在流形上定義光滑的曲線和函數，緊接著定義切矢量與餘切矢量。於是，流形上每點便承載了兩個矢量空間(切空間和餘切空間)，利用代數中的知識我們可以定義兩個矢量空間上的多重線性映射，於是，我們有了張量場的概念。

再往前走一步，我們可以考慮利用流形上的光滑矢量場生成的單參數微分同胚群定義Lie導數對張量場進行微分，也可以定義外微分對微分形式(反對稱協變張量)做微分運算。而這都是流形的微分結構直接引出的，不依賴於任何的附加結構。

4，流形上還可以有其他結構嗎？

當然可以，除了流形本身自帶的微分結構之外，我們還可以在其上定義許多非常有趣的東西，比如度量，聯絡，變換群等概念。而這些概念又可以引出許多更好玩的東西…………

5，什麼是上同調？

什麼，你問我？這個嘛……其實啊，這一大坨概念可以從流形自身的微分結構中「生」出來。對於微分形式而言，恰當形式一定是閉的，但閉形式不一定是恰當的。對外微分運算元d，kerd/Imd 即為de Rham上同調群，而de Rham定理則建立了de Rham上同調群與流形的實係數奇異上同調群之間的同構。不僅如此，de Rham上同調群還同構與調和微分形式空間，所以調和k形式集合的維數等於第k個Betti number，由此，取Betti number的代數和，還可以定義流形M的歐拉示性數…………

6，什麼是聯絡？

你先別問什麼是聯絡，先告訴我：「流形自身的微分結構能保證其不同點切空間存在特殊的同構映射嗎？」……是的……不能。所以我們要在不同點的切空間之間建立某種曲線依賴的同構，這就是聯絡介入的地方。同時我們也可以利用聯絡對張量場進行微分運算，對矢量進行平移操作。更一般的，矢量叢上的聯絡提供了將不同點纖維等同起來的一種方式。在矢量叢上給定聯絡後，叢流形上便誘導出一個水平分布，這正是主纖維叢上聯絡概念的起源。而主纖維叢上的聯絡，即將叢流形一點的切空間分解為水平空間和豎直空間，由此可以導出其伴叢上的聯絡…………

7，什麼是度量？

開門見山地說，給流形上每點切空間指定一個正定內積，即得到一個具備黎曼度量的黎曼流形(當然也可以去定義偽黎曼流形)。這個附加在流形上的度量結構，可以建立流形上一點切空間與餘切空間之間的同構。若將黎曼度量乘以一個光滑正函數，可以產生一個新的黎曼度量，且與原度量具有相同的角度值，保持流形上的「共形結構」不變…………

8，什麼是指標理論？

什麼？，指標理論？……這個指標理論啊……我根本不懂……不過貌似可以從Gauss-Bonnet公式說起，它將閉曲面上的歐拉示性數和高斯曲率聯繫起來，將這一定理推廣到偶數維閉流形上去可以得到Chern-Gauss-Bonnet定理，可以算是Atiyah-Singer指標定理的一個特例吧…………

9，哈？變換群？

有限維Lie群的Lie代數與其上左不變矢量場的集合是Lie代數同構的，而一個左不變矢量場則可以生成一個單參子群。這個東西物理上用的好多的說……廣義相對論里的微分同胚群，規範場論里規範變換群，「物理原理應該與它如何描述無關」即對應於「在對稱群作用下的不變性」……

10，什麼是纖維叢？

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http://zhuanlan.zhihu.com/p/22454136

(完了(>_<)……)
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