關於應力客觀率（二）

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寫點網文，我是能不公式就不公式。因為動不動給人看公式，不如給個書目頁碼再付張去圖書館的地圖來得直接。但是說到應力應變本構關係，沒有公式實在難以為繼。所以這部分就對不起白話黨了。

基於應變率的本構關係這個題目在被Truesdell等人提出來之後，不斷被力學家玩來玩去，最後在七八十年代井噴一下發文無數，各種材料都被搞定了。所以現在被論文產量壓迫的力學研究者只能自嘆生不逢時。雖然遵守客觀率的應力表達理論上有無數種，但是有實際應用意義的就那麼多。在流行通用力學軟體支持的往往也就那麼幾種。比如說ABAQUS和LS-DYNA就只支持Jaumann和Green-Naghdi。這些應力率的公式我反正記不住，要用的時候查書。這裡只說說他們的大背景。

基於應力率的本構方程的數值實現，也就是說ABAQUS，NASTRAN等在後台琢磨如何從時間 $t$ 的應力獲得時間 $t+1$ 的應力的時候，本質上都是這個思路：

$sigma^{t+1}=sigma^{t}+dot{sigma}^tdt$

$dot{sigma}^t=f(dot{epsilon},sigma)$

也就是，從當前時間步的應變率和其他量算出應力率，再把應力率導入數值積分公式，得到下一步的應力率。因為應力率本身的數值積分還可以有多種方式，混合著應變率的積分，整個計算過程可以有多個變種，但是本質上都長這樣。而本構方程就是含在 $f()$ 當中。

那麼問題就來了，我們都知道在空間坐標求材料導數是很麻煩的事情，因為傳導項生成多餘的項。不是說這麼做不可行，經典方法都是這麼做的，只是很不清爽。所以才會有拉格朗日格式，爭取在初始坐標繫上求導。聯繫兩種坐標繫上張量的映射，微分幾何上稱為推進和拉回（push-forward ＆ pull-back), 用 $phi_*$ 和 $phi^*$ 表示.

舉個栗子。第二P-K應力 $S$ 定義於初始坐標，Kirchhoff應力 $tau$ 定義於空間坐標，而 $S$ 是 $tau$ 的拉回， $tau$ 是 $S$ 的推進。所以，要避免在空間坐標上計算 $tau$ 的時間導數，我們可以「把 $tau$ 拉回成 $S$ ，求時間導數，在推進到空間坐標系」。寫出來就是