物理所之行學術總結 凝聚態中的哲學與概念

本文將分為以下幾個部分,第一部分關於什麼是凝聚態以及凝聚態理論家們的思考哲學展開，第二部分是關於凝聚態物理中的一些概念和現象的描述，第三部分嘗試將MonteCarlo模擬、動力學平均場以及數值重整化群這幾個在凝聚態物理中得到廣泛應用的數值方法進行簡單的介紹。當然這其中的很多內容是包含了我個人的一些理解，由於接觸的時間還不算很久所以有錯誤也是再所難免的，這裡只是希望記錄下來給自己以後作一些參考

凝聚態物理中的哲學思想

如果研究粒子本性希望通過幾個簡單的方程式來解釋出粒子對撞機碰出來的各種奇妙現象的人被稱作高能物理學家，那麼研究從實驗材料中主要由於各種粒子由於庫倫相互作用而演生出的各種現象的人就該被稱作「低能物理學家」----也就是凝聚態物理學家。相對於高能物理學家感興趣的領域，凝聚態的研究範圍是低能標大尺度的物理現象。而大尺度則意味著涉及到的粒子數目是一個很大的量級，聯立每個粒子的那些基本方程而期望得到一個有用的結果是不可能的，顯然在這種情況下我們要扔掉我們不感興趣的部分，而要做一個合理的近似，所以在凝聚態中所描述的一些性質往往是眾多粒子的表現出的一個集體行為，而其理論往往也對應於一個低能的有效理論。正所謂more is different，凝聚態中很多不同的物理現象背後提煉出的物理模型竟然是相同的，因為從最簡單的二次量子化即可獲知，多體體系的哈密頓量無非包括了單粒子自己的單體算符，以及考慮粒子間相互作用的多體算符，而在這個多體算符內起作用的也都是庫倫相互作用，但是如何去解釋相應的物理問題則是如何去簡化近似這個物理模型。

在暑期實踐的過程中，閱讀了幾篇對於凝聚態這一理論的整體發展進行綜述的一些文章，幾位著名的凝聚態理論家在回顧他們研究時的思考哲學都不約而同的提到了還原論以及演生論的兩種方式。還原論和支持還原論的那些學者大多是有一點理想主義的，他們希望世界利用還原論的思想抽絲撥繭簡化到只剩幾個基礎方程所謂theory of everything，這無疑是很多研究物理的人所能期望達到的一個終極狀態。不過出發點看似很優美的很多理論，在實驗上現在依然不能發現支持它們的證據，那麼我想在一個優美的統一理論和實驗的空白零結果之間填充的只能是研究人員的信仰了。而相信演生論的人，基本都是實用派的，他們相信那些從實驗上湧現出來的現象是不可能從那些基本理論中直接推出來的，我們大部分時間最終得到的是一個低能有效理論，而其與背後的高能理論溝通的那條通道，可能早就被各種技術細節給模糊掉了，直接通過實驗現象總結而得的那些唯象的理論由於其理論對於適用環境強烈的依賴可能不太可能去找到彼此的聯繫，從而找到其與背後更一般性的理論的聯繫。

可以換個角度理解前面的兩種觀點，一定尺度的物理，是由那個尺度範圍內的「基本」定律所支配的，而不同尺度範圍間的基本定律是存在一定的。演生論認為大尺度的定律是從小尺度的定律演生而來的，不過不同尺度的物理定律都有一定的獨立性，在考察相應範圍的物理時，那麼那個範圍內的定律可以說就是本質的。還原論則認為，在這些不同尺度的」基本」間是存在一個最基本的定律，而不同尺度的「基本」則對應於這個最基本理論在不同尺度範疇內的體現。

演生論的優點在於其可以快速有效的做出一些可靠的預言，但是卻不能滿足人們打破沙鍋問到底的好奇心，而還原論則可以滿足人類對於自然本原不斷探求，用人類智慧的極限去不斷接近那個完美的最終答案，從那個theory of everything到我們關心得尺度物理之間的距離實在太遠，所以很難做出準確有效的預言。對於凝聚態物理學家們而言，採用演生論的觀點來看待他們研究的問題無疑是很省力的一種方式，不過有些情況下也需要從高能的理論中獲取一些養分，從而得到新的研究思路。

凝聚態中的一些理論和概念

電子能帶論electronic band structure

本質上電子能帶論是一個單電子理論，其考察的是一個電子在周期性的晶體結構的的運動規律，對於這個電子而言，可以把其與其他電子之間的相互作用轉化為一個複雜的勢場。簡單來說能帶就是一個展示解薛定諤方程本徵譜的過程，一般選擇在動量空間，也就是要解出$E(k)$這樣一個函數，它展示了哪些能量是固體材料中的電子可以佔據的。而從實驗上，通過能帶的信息，可以讀出很多關於材料的性質。考察基態的電子在Fermi面附近的一個填充情況。如果電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各帶都是空的。則最高的滿帶是價帶，最低的空帶是導帶，價帶的最高能級和導帶的最低能級之間的範圍被稱為帶隙，這種情況對應的是絕緣體和半導體，帶隙比較大(如10ev)被稱為絕緣體，帶隙比較小（1ev）被稱作半導體。如果電子的填充情況是，最高的一個能帶只是被部分的填滿，這時最高佔據能級為費米能級，這種情況對應得材料就是金屬導體。

在拓撲絕緣體的發現早期，研究人員提出了一種叫拓撲能帶論的方法(topological band theory)，我們可以從能帶圖中算得一些拓撲不變數，而這些數對於同類的拓撲絕緣體都是相同的

上圖中存在能帶反轉的情況，所以可以計算穿越能帶穿越費米面的次數，穿越次數為偶數次的，和穿越次數為奇數次的會對應兩類不同的拓撲絕緣體。

但是能帶的預言，也存在它的局限性，由於能帶論只是一個單粒子的理論，所以很多情況下光是把電子之間的庫倫相互作用簡單的歸結為對於單粒子的勢能的一個貢獻是不夠的，如果考慮一個原子位置已經有一個電子，而在加進一個電子時會存在比較強的庫倫相互作用，所以對於這樣的一個強關聯體系是沒有辦法只從能帶論角度中得到準確預言的，比如Mott絕緣體在能帶中計算的是一個導體的能帶，但是實際上是一個絕緣體。這個問題指出了能帶論的局限性。

Kondo效應

由於雜質與傳導電子的交換作用 , 使這類系的低溫電子特性表現出一系列的反常。 最早觀測到的是在電阻隨溫度變化的曲線上出現極小;其次是磁化率偏離居里定律,有效磁矩隨溫度降低連續減小,以及比熱和熱功率在低溫下出現寬峰等一系列反常現象Kondo在解決電阻極小問題時做出了很大貢獻，其指出在處理電子與磁性雜質進行散射時，不僅電子的自旋有影響，雜質的自旋也會發生改變，是一個多體問題，其利用微擾論的方法解決了這一問題，kondo的模型是

中第二項為雜質和導帶電子散射項

Kondo通過低階微擾算出了一個對數的發散項

然而趨於零時，會有一個對數發散跟實驗發生衝突，因為ln的貢獻越來越明顯，所以隨著溫度越來越低，高階的微擾對於效應的現象也是有很大貢獻的應該，計入這些項中所有的對數發散項項

雖然消除了$T$等於零時的發散，但是出現了一個，在時分母是發散的，並且與耦合常數j的關係與超導中電子聲子耦合關係很像，人們猜想是否在磁性雜質和電子之間也存在類似的關係，導致一類超導現象

但是，該理論在下依然存在問題，物理學家們為了尋找 適用於 與了的統一理論 , 花費了近十年的時間。但是 , 一切從高溫出發的解析理論都在$T_k$以下失效 , 因為在強關聯區涉及到一個真正的多體問題 , 人們既不可能對全部相互作用圖形求和,又不明確強關聯區到底那些圖形起主要作用 . 這一困難直到 K . G . Wilson 的文章發表後才得到解決 。他與眾不同地拋棄了微擾圖形計算方法,利用重正化群變換減少系統的自由度數,再運用計算機作哈密頓量的對角化,從而求得了單雜質與傳導電子互作用系統嚴格解。(這就是後面將要涉及的數值重整化群）

重fermion現象與二流體理論

Ce基的很多重費米子材料中，Ce為+3價最外層有一個f電子，其在低溫下表現為一個局域磁矩，考慮到這個局域磁矩與導帶電子之間的相互散射，所以會有ondo效應，描述這個體系時也要用前面Kondo用的那個哈密頓量。而在一些混價材料中，會有兩個5f電子，比較尋巡遊，所以要考慮到f電子在不同晶格位置的一個躍遷，所以要用周期Anderson模型去描述。對於前面所說的f電子我們可以認為其具有局域和巡遊的二重性質，從而來解釋重費米子材料中一些物理現象，這也就是楊義峰老師等人發展的重費米子二流體理論。

因為之前通過大量的實驗擬合發現，重費米子的很多物理量可以被擬合成一個加權平均的式子

所以進一步推測給出了兩種流體更為具體的描述，即由部分雜化的局域f 磁矩構成的自旋液體和由集體雜化形成的巡遊重電子，認為兩種流體的共存與競爭是描述重費米子物理的本質。並且上面的那個公式的權重是一個隨溫度變化的函數，可以由此來解釋一塊材料在降溫過程中可能產生的現象。

作為一個唯象理論來說二流體理論取得比較大的成功，首先可以進行磁導率熱導率等物性材料都可以進行類似上面那個公式的擬合，其次可以成功預言一些新的現象被實驗驗證，如Fano干涉效應，：低溫下，重費米子體系中的導帶電子與f 電子局域磁矩集體雜化，使得f電子產生退局域化，從而探針中的電子可以通過兩個通道進入重費米子材料，或直接隧穿到導帶，或隧穿到晶格上的f 能帶。入射電子在兩個通道中會形成類似於雙縫干涉的一種干涉效應。並且利用很多數值方法（包括採用隸玻色子近似、單雜質動力學平均場理論(DMFT)、數值重整化群(NRG)、行列式量子蒙特卡羅(DQMC) 和密度矩陣重整化群(DMRG) 等方法來近似計算周期Anderson模型或者Kondo模型這樣的強關聯模型得到的結果大多可以符合用二流體做出的預言。

但是就目前來看，這個二流體理論可以提供給研究人員構建更深層次的微觀理論的線索還是比較少的，二流體這樣的唯象理論背後的物理機制還不是十分清晰，需要再做很多細緻的分析工作才能得到更為清晰的一個線索。

就如超流二流體理論的背後是對稱性自發破缺這樣的普遍規律，超導的二流體理論背後是BCS理論中形成的Cooper對，我們應該有一定理由相信重費米子的二流題理論並不是一個簡單的巧合，其背後或許蘊藏著解決強關聯體系的一個普遍機制，但尚需繼續挖掘，和理清思路。