如何理解閔可夫斯基空間距離公式中的負號？

01-27

長期以來，我們一直在學校與書本中所接受到的關於兩點之間距離的公式都是諸如 D=A^2+B^2+C^2 這樣的，但是在闡述閔可夫斯基四維空間的距離公式中卻出現了負號，為什麼會是負號？我實在很難理解，在此請教大家！

已有的幾個回答都沒有答到點子上。

Minkowski時空的度規中時間分量的負號來源於狹義相對論的兩個前提之一—光速不變。

考慮一個最典型的情境，兩個互相作勻速直線運動的慣性系，為了方便，當兩個原點重合令t=t=0，此時從原點發出一束光。由於在兩個參照系中光速均為c，所以我們有：

x2+y2+z2=(ct)2

其中(t,x,y,z)和(t,x,y,z)分別為光在兩個參照系中所到達的位置。

顯然地我們發現：

x2+y2+z2-(ct)2=0=x2+y2+z2-(ct)2

這進而引導我們去找到一種類似於歐幾里得空間中的距離的不變數，即

ds2=-(cdt)2+dx2+dy2+dz2

保持這種不變數的所有變換（除去平移）組成一個群，稱為Lorentz群，這些變換稱為Lorentz變換。Lorentz變換是Minkowski時空中的一種「旋轉」操作。

因此可以看出，時間分量的負號體現了時間分量與空間分量的不對等，最終的來源是光速不變。

你接受不了不代表它是錯的。高等代數中對這種空間有嚴格的理論。

應該首先問憑什麼距離一定都是正號？如果不一定會怎麼樣？最簡單的推廣是閔氏時空，然後它恰巧可以解釋這個世界，可喜可賀可喜可賀。

我們並不是先驗的接受加號的距離的，那是我們看到了三維歐幾里得空間下的長度（加號）在SO(3)群變換（旋轉）下不變，於是我們的經驗總結了這種長度的定義。直到人們開始認識到了狹義相對論（洛倫茲不變），於是把數學家構造著玩的閔氏時空（等距變換群為龐加萊群=洛倫茲+平移）用到這個理論中了

首先，洛倫茲變換其實就是狹義相對論全部的內容了，那為什麼我們還需要諸如「」閔可夫斯基時空」「時空間隔」等概念呢？

對於同一個事件，在不同的坐標系中觀測，它的時間和空間坐標都是不同的。這叫好像小時候你學過的一片語文課文《畫楊桃》，站在不同角度看同一個楊桃，樣子完全不同，但楊桃始終只有一個！是客觀存在的！

所以物理學家覺得事件就是類似於楊桃的東西，他們希望找出楊桃「本來」的樣子，而並不只是滿足於在特定參考系下來看這個楊桃，因為任何特定坐標系下的表述都是「不完備的」。那如何找出一種方法描述一個事件，而不依賴於坐標系呢？

你計算一下c2t2-x2，然後帶入洛倫茲變換，最後得到c2t2-x2。

所以有c2t2-x2=2t2-x2

一般的，c2t2-x2-y2-z2=c2t2-x2-y2-z2

你會發現這個方法已經找到了！

對於同一個事件，在兩個不同的參考系裡，坐標的空間部分，時間部分都不一樣，但是如果你計算c2t2-x2-y2-z2，那麼任何參考系下這個值都是一樣的！

令s2=c2t2-x2-y2-z2，那麼s就是我們要找的楊桃！

所以，你可以看見，正負號並不是人為臆造出來的，是客觀事實給出來的，它本來就是這樣。

反證法，如果不為負號，光速將不為恆定值。

最近在知乎寫狹義相對論的系列文章，負號的問題很容易解釋。在牛頓時代，做參照系變換時，時空矢量是沿著直線旋轉的，那個時候，時間是一個不變的絕對量。到了閔可夫斯基時代，做參照系變換時，時空矢量就從沿直線旋轉變成了沿雙曲線旋轉（沒人知道上帝創造宇宙時為什麼選擇雙曲線），既然是雙曲線，不變的絕對量自然就變成了平方差，這也是負號的來源。

當然，如果時間變得完全如同空間，時空距離用平方和的方式表示，時空矢量變換參照系時從雙曲線變為圓，那又是一個全新的宇宙了。

參考：知乎專欄

量子力學和狹義相對論都有一些公設，比如說這個光速不變，為什麼光速不變？又如量子力學波粒二相性，疊加態，不確定原理，糾纏態里的超距相互作用等等，量子力學告訴你，不要試圖理解，它們就是這樣，接受了這樣的假設，你算出來的東西跟現實世界觀測到的一切都符合。但是我們作為學生學習的時候，就變的超級困難。原則上這樣的公設需要更底層的理論去解釋。最近我看到一本書，牛津大學出的量子力學的多世界解釋，感覺理解量子力學一下子變的容易很多。然後發現這種多世界解釋，對於理解閔可夫斯基時空的結構也很有幫助。如果你不想看下面的公式，只要接受一個定理，就可以理解我說的為什麼閔可夫斯基時空與多世界理論是一致的。

這個定理就是： 一個層層劈裂的樹結構，其連續極限對應著雙曲空間（即閔可夫斯基空間）。

如果你想知道這個定理哪來的，可以搜索： Poincare Embeddings for Learning Hierarchical Representations (2017 May 26 by Facebook AI Research).

我們也來做個假設，顯式的世界是1+1維的，只有t - x分量，在一個雙曲空間，半徑是 s, 雙曲圓的圓周是 t = 2 pi sinh s, 雙曲圓的面積是 x = 2pi (cosh s - 1), 隨著球半徑 s 的增加 ds，圓周長和面積呈指數增長，

dt = 2 pi cosh s ds

dx = 2 pi sinh s ds

則 $dt^2 - dx^2 = (2pi)^2 ds^2 = ds^2$

這意味著什麼呢？這個定理說明如果我們的宇宙是多世界的，任何時候時空都會劈裂，宇宙就會以指數暴漲，時空的結構是一個層級劈裂的樹結構的連續近似，那麼時間和空間分量必然會差一個負數。

剛才在網上搜了下，發現一篇2000年的PRL文章 Tree Structure of a Percolating Universe; 但是那篇文章講的是宇宙中物質密度分布的樹結構，而不是時空劈裂造成的樹結構。

（這也是看到了樹結構的連續近似是雙曲空間時，突然腦洞大開的想到的時空結構與多世界理論之間的關係。不匿了，反正大家猜不出來我是誰，就算貽笑大方也沒關係）

狹義相對論是研究時間和空間的科學，你所產生的疑惑，是被「空間」，「四維」、「距離」這幾個名詞所引發的。你不必過度解讀這幾個名詞，只需理解這是一種數學方法，將時空間隔理解為函數即可。「空間」，「四維」、「距離」這幾個詞的含義，與傳統的含義只有類比上的意義，但不完全相同。

一切事物的速度只有一個就是光速

光速被分解到時間和空間

一邊的速度多另一邊就要少

所以是減號速度都是從光速減出來的

時空之外觀察，無所謂。時空原點觀察，那是正號。時間軸上輪迴中的凡人觀察，時間一直在逝去，當然是負號了。

我猜是因果律。

謝邀！首先聲明我是反相對論的。所以我認為距離的負號來源於相對論的錯誤假設--光速不變。一束光，相對於兩個速度不同的參照系，速度卻是相同的，這種離奇的假設就必然會推導出離奇的結論。

我們可以這樣來簡化這個問題。假設一個人的速度相對於兩個參照系的速度都是u，也可以得出距離為負的結論。

狹義相對論中時空可以用四維表示(就是你標籤里的四維空間)。第四個維度和時間有關，標度是ict。然後兩個點的距離就是s^2=x^2+y^2+z^2+(ict)^2,仍然是你提到的平方相加的形式。

把(ict)^2寫成-(ct)^2就出現負號了。

在把麥克斯韋方程組湊成四維形式□A=-μ0J時，為了湊出這個喪心病狂地簡潔的形式要定義四維拉普拉斯運算元□=?^2/?x^2+?^2/?y^2+?^2/?z^2+?^2/?(ict)^2，這個形式是三維拉普拉斯運算元的擴展，保持為∑ ?^2/?x^2的形式。這裡就自然出現了ict作為第四個空間坐標。同時和四維形式配套的洛侖茲規範的形式也是［四維散度］A=0.

洛侖茲變換是這個四維空間中的正交變換。正交變換的一個性質是任意兩點在變換前後的距離不變，就是其他答案中的間隔不變。

嚴格意義上來說閔可夫斯基距離其實也不是一種距離而是一組距離的定義