宏觀世界，或者日常生活中有沒有不對易測量的例子？

01-27

量子力學中有些物理量的測量是不對易的，最著名的就是位置和動量了。當你測出了動量，就不知道位置在哪了，再去測出位置，動量又不知道是多少了。像這樣的測量，宏觀世界中有嗎？答案不限於物理學。

當我們說「對易」的時候，指的是兩個算符；

當我們說兩個物理量時，通常說「不確定」。

量子力學中的不確定性，是和不對易相關的。

不確定原理在其他學科中的出現參見：「不確定性原理」是怎麼回事？除了量子物理，「不確定性原理」是否也適用於其他學科？「不確定性原理」對我們的日常生活有什麼影響？

現在說對易。在量子力學裡，「位置」和「動量」都是算符，可以理解為對波函數的操作。

「位置」是在波函數上乘個 x，而「動量」是對波函數求偏導。

兩個操作 A 和 B 不對易，是指先做 A 然後做 B 的結果，與先做 B 然後做 A 的結果不同。

這樣的例子在現實生活中實在太多了，可對易的反倒是少數。

比如，初始狀態是面向北立正，「向左轉 90 度」和「向前卧倒」就不對易。

如果先轉再卧，那麼你的狀態是面下向，頭朝西；

如果先卧再轉，你的狀態是頭朝北，面向西側卧。

這個例子，某種意義上和量子力學中自旋算符的不對易有一絲聯繫。

比如說有一塊橡皮泥，你要測量它最多能被拉多長和最多能被壓多短。如果要把能拉多長測得恰到好處，你就用力拉，用機器拉，拉到剛好斷為止，這樣你就知道它最多能拉多長了，可這時你再想知道它能被壓多短就無從下手了，因為它已經斷掉了，原來的橡皮泥已經不復存在。如果我們要測它能壓多短，我們就使勁壓，用卡車壓，壓成石頭那麼硬，實在壓不動了，然後測量它是多短。可它被壓成石頭了，脆了，你再去拉它，一下就斷掉了（是不是這樣我也不清楚o(╯□╰)o先假設是這樣吧），關於橡皮泥能拉多長的信息我們一無所知。這類似於一維情形下我們知道一個粒子動量具體是多少，那麼粒子的位置將等可能地分布在從負無窮大到正無窮大的位置。反之對具體某一位置亦然。

既然斷掉了沒法測另一個屬性，我們就輕輕拉橡皮泥，不要拉斷了，差不多的時候我們就收手，這時我們就知道一個關於橡皮泥能拉多長不太準確的信息，橡皮泥沒斷，但是形狀變了，內部分子結構塑性什麼的也變了，你再去壓它，最後得到的結果肯定不一樣，所以這時我們也只能大概知道原來的橡皮泥大概能被壓多短。你當初拉得越厲害，橡皮泥性質改變得越厲害，測量能被壓多短這一信息時得到的結果越不穩定。反之也是如此。這就好比我們知道粒子的動量越準確，那它的位置就越模糊。

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另外提一下一次測量不是拿算符去作用，算符作用的結果是每次測量量的平均值。量子力學提到的測量與我們平時所理解的測量有些不同，量子力學的測量就是一次破壞（其實宏觀也是這樣的，只是相對來說破壞力度小得多），讓原來的波函數坍塌，比如說測量一個電子的位置，很多情況它是有可能分布於全體空間的，如果你看到熒光屏某個位置閃了一下，那相當於原來分布於各個空間的波函數坍塌到了這一點上，這坍塌過後的波函數，它具有更多的動量不確定性。不確定性可理解為波函數的疊加，你不能確定粒子在A點還是在B點，那麼它就處於A點與B點的疊加態，你測量它的位置時波函數按照相應概率坍塌到A點或B點。

推薦科學松鼠會中的『』不確定性原理的前世今生」http://songshuhui.net/archives/50111，寫得非常棒。其實這些對偶量都是對應的實體的一種表示，不同的表示展示出對應實體的不同的特性，但一種表示不能包含所有的特性。位置和速度是表徵運到的對偶量，時域和頻域是表徵信號的對偶量，極坐標系和直角坐標系也可以看作是幾何表示的對偶量，在極坐標系裡越容易計算的問題，在直角坐標系裡就越不容易計算，而反過來也是。這些對偶量在某種程度上是互補的。當然同一個實體的對偶量也可能出現多個，比如，同一個想法，可以用多種語言（中文，英文，法文等）表達，只用中文表達出來的話，只懂英文和法文的人就不明白什麼意思，而用法文表達出來的話，只懂中文和英文的人就不明白什麼意思了，用英文表達出來也是相似的情況。如果把這個想法用中文表達一部分，再用英文表達一部分，只懂中文和只懂英文的人就只能懂一部分，而只懂法文的人就完全不明白什麼意思。所以不同的表達方式，也就是所用的不同的語言就構成這個想法的對偶量。越是趨向於一種表達方式，和另一種表達方式的關聯性就越弱，位置越清楚，速度就越不清楚。明白了位置和速度都是運動的一種表示方式，就容易理解不確定原理了。