幾何中的「內蘊」與「外蘊」之辨

所謂內蘊的幾何，就是只需要在某個給定的幾何對象內部進行研究，不需要外圍的背景空間。除了給定的一個大的幾何對象M以外，M外面的空間都不存在。舉個例子，討論平面幾何的時候，我們討論的實際就是平面本身的內蘊幾何——平面幾何的那些公設（不管是5條歐式公設還是希爾伯特新加進去的保證連續性的那些幾何公理），都是只需要在平面內部進行操作吧？不需要引進「z軸」吧？不需要假設這個平面是3維歐式空間裡面的哪一個平面吧？然後我們討論空間幾何（這裡空間指的是3維歐式空間），實際也是3維歐式空間本身的內蘊幾何——我們在3維空間中進行幾何操作，並不需要引進第4個維度吧？

然後再談談球面幾何。對初學者而言，「直」的東西好理解，彎曲的東西就不好理解了。很多人都覺得，球面是3維歐式空間的一個子集啊，它上面的幾何怎麼會是只跟球面本身有關的呢？最簡單的，比如球面上的距離要用大圓來定義吧？大圓是什麼，是三維空間裡面過原點的一個平面與球面的交集啊——看，不是出現了「原點」么？不是出現了「三維空間的平面」么？這些東西在球面上都沒有，必須要在外圍的背景空間——3維歐式空間中才能看到啊？這種幾何怎麼會是內蘊的呢？

確實，從上面這種角度來看球面幾何，的確像是外蘊的。但是，我們也有純內蘊的方法去定義球面上的幾何。如果讀者學過黎曼幾何（不是非歐幾何裡面那個黎曼幾何，是黎曼的微分幾何。。）的話，知道球面上可以定義標準度量——當然，球面標準度量可以看成3維歐式空間中的標準度量限制在球面上的誘導度量，但是，球面標準度量本身的定義是可以獨立於3維歐式空間存在的！只不過內蘊的寫法會麻煩一些，比如可以寫出局部坐標，然後在局部坐標下寫出度量張量。然後，在這個內蘊的標準度量下面，可以定義測地線——也就是大圓，有了測地線，就可以定義內蘊的距離。有了度量，還可以定義曲率。等等等等，於是傳統的球面幾何上的東西，都可以通過一個內蘊的度量來內蘊地定義。

（我上面用微分幾何的語言敘述是因為我只熟悉這一套語言，用古時候的球面幾何的公理——即某種非歐幾何的公理，是否也能內蘊地、不依賴3維背景空間地構建球面幾何的體系，我不知道，不過我覺得是可以的）

可能有人還是想不開，覺得：「我們日常生活的物理空間就是3維的啊，所以所有的幾何都應該在3維內討論才對，何必區分什麼內蘊外蘊呢？」首先，我們日常生活的物理空間，並不是平直的3維歐式空間，這只不過是我們的大腦對外部空間感知產生的一個粗略的直覺——愛因斯坦之廣義相對論的偉大之處，就在於他突破了這種直覺，認識到物理空間——實際上是物理時空可能用彎曲的幾何學來描述更為合適。於是在這裡你就可以看到內蘊幾何學這個觀念在物理裡面的基本重要性——我們人類再牛逼，也沒辦法跳出宇宙之外去觀察宇宙吧！我們只能在宇宙裡面去觀察宇宙，使用的工具只能是內蘊幾何——其實內蘊幾何學就是一種「只緣身在此山中」的感覺。其次，數學上的概念體系，並不需要與真實的物理模型完全匹配，我們完全可以發展3維以外的幾何學——然後發現這些東西又可以神奇地反過來應用在物理學裡面。取定一個絕對的參考系，然後把一切幾何對象都放在這個參考系裡面進行研究，這種思維方式在現代數學裡面並不自然。如果非要取一個絕對的外在背景空間，這個空間得取多大才足夠？恐怕無限維的Hilbert空間都不夠吧。

OK，說了這麼多內蘊，現狀該談談外蘊了。其實理解內蘊幾何學的難點，在於拋棄3維歐式空間這個牢牢佔據我們大腦的幾何直觀的背景空間，真正認識到——任何幾何對象都有專屬自己的獨有幾何學，不需要「別人」來「干涉」——開個腦洞，一個個流形就是一個個獨立的幾何王國哈哈～那麼外蘊的幾何呢，一般就是研究不同幾何對象之間的關係——可以理解為王國之間的外交機構——的幾何學。一般都是研究一個大的幾何對象和裡面的子對象之間的聯繫。比如研究任意黎曼流形的極小子流形、全測地子流形等等。

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