微分形式

01-27

今天來看一下微分形式吧(*^__^*) ……de Rham定理之類的內容以後會簡單地談一談，Cartan結構方程會和黎曼曲率張量放在一起介紹，這裡就不涉及啦。

下面用 $F_{M} left( k,lright)$ 表示流形M上（k，l）型張量場的集合，用 $F_{V_{x} } (k,l)$ 表示矢量空間（切空間） $T_{x} M$ 上（k，l）型張量場的集合。用 $Lambda (l)$ 代表矢量空間（切空間）上全體 $l$ 次微分形式の集合，用 $Lambda _{M} (l)$ 代表流形M上全體 $l$ 形式場的集合，

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第一部分：微分形式の基本概念

1， $n$ 維流形 $M$ 上每點 $xin M$ 都「承載」著兩個 $n$ 維矢量空間，切空間和餘切空間。切空間 $T_{x} M$ 是流形上一點 $x$ 所有矢量的集合（點 $xin M$ 的一個矢量是滿足線性性和萊布尼茨律の映射 $v:F_{M} (0,0)rightarrow R^{1}$ ）；餘切空間 $T_{x}^{ast } M$ 是 $T_{x} M$ 上全體對偶矢量的集合（線性映射 $omega :T_{x}Mrightarrow R^{1}$ 稱為矢量空間 $T_{x} M$ 上的一個對偶矢量）。若給 $forall xin M$ 都：指定一個矢量，那麼就可以得到流形M上的一個矢量場；同理給 $forall xin M$ 「指定」一個對偶矢量就可以得到M上的一個對偶矢量場。

2，矢量空間 $T_{x} M$ 上的一個多重線性映射 $T:T_{x}^{ast }Mtimescdot cdot cdot times T_{x}^{ast }M rightarrow T_{x} Mtimes cdot cdot cdot times T_{x} M$ ，即為矢量空間 $T_{x} M$ 上的一個張量。 $n$ 維矢量空間（切空間） $T_{x} Mn$ 上全體（k，l）型張量的集合 $F_{V_{x} } left( k,l right)$ 也是一個矢量空間，且其維數為 $n^{k+l}$ 。給流形M上每一點 $xin M$ 「指定」 $T_{x} M$ 上的一個（k，l）型張量，就可以得到M上的一個（k，l）型張量場。

3，切空間 $T_{x} M$ 上的 $left( 0,lright)$ 型全反稱張量（ $omega _{a1cdot cdot cdot al} =omega _{[a1cdot cdot cdot al]}$ ）的集合 $Lambda left( l right)$ 是矢量空間 $F_{V_{x} } left( 0,l right)$ 的線性子空間，可以證明矢量空間 $Lambda left( lright)$ 的維數為 $C_{n}^{l} =frac{n!}{l!(n-l)!}$ 。而 $T_{x} M$ 上的 $(0,l)$ 全反稱張量，即為 $T_{x} M$ 上の $l$ 次微分形式。若給 $forall xin M$ 都「指定」 $T_{x} M$ 上的一個 $l$ 次形式，就可以得到流形M上的一個 $l$ 次形式場。

4，由微分形式的全反稱性可知，對於n維流形M切空間 $T_{x} M$ 上的 $l$ 形式場，若 $l>n$ ，則 $Lambda left( lright)$ 只含有零元。若 $n=l$ ，則 $dimLambda left( lright) =1$ ，即n維流形M上任意一點 $xin M$ 的所有n形式的集合 $Lambda left( n right)$ 是1維矢量空間。

第二部分：楔形積與外微分

1，對於張量而言，我們要求張量進行「張量の運算」之後依然是張量。兩個 $left( k,lright)$ 型張量做張量積可以生成一個 $left( 2k,2lright)$ 型張量；一個 $left( k,lright)$ 型張量求協變導數之後可以得到一個 $left( k,l+1right)$ 型張量。

2，微分形式即為 $left( 0,l right)$ 型反對稱張量，我們自然也要求微分形式進行「微分形式の運算」之後依然是微分形式。兩個微分形式做張量積之後生成的一定是張量，但不一定是微分形式；一個微分形式求協變導數之後一定是張量，但不一定是微分形式。可見，對微分形式做張量積運算與協變導數運算時，不能保證結果依然是微分形式，所以我們需要定義新的「運算」。

3，楔形積：

設 $omega$ 和 $mu$ 分別為 $l$ 形式和 $m$ 形式，那麼， $omega$ 和 $mu$ 做楔形積之後可以得到一個 $l+m$ 形式，具體的定義為： $wedge :Lambda _{}left( l right) times Lambda _{}left( m right) rightarrow Lambda _{} left( l+mright)$ ，

$left( omega wedge mu right) _{a1cdot cdot cdot alb1cdot cdot cdot bm} =frac{(l+m)!}{l!m!} omega _{[a1cdot cdot cdot 1l} mu _{b1cdot cdot cdot bm]}$ ，可見楔形積就是張量積之後再取全反稱。楔形積滿足結合律和分配律，即：

（1） $left( omega wedge mu right) nu =omegawedge (nu wedge mu )$ ，（2） $omega wedge (mu +nu) =omegawedge nu+ omegawedge mu$ ，

楔形積一般不滿足交換律，可以證明對楔形積有： $omega wedge mu =(-1)^{lm} mu wedge omega$ .

4，外微分：

流形M上的外微分算符為， $d:Lambda _{M}(l)rightarrow Lambda _{M} (l+1)$ 定義為：

$(domega )_{ba1cdot cdot cdot al} =(l+1)D_{[b} omega _{a1cdot cdot cdot al]}$

（1）外微分的作用對象為M上全體微分形式。

（2）可見，外微分就是協變導數之後在取全反稱。

（3）容易證明，對任意 $D$ 和 $tilde{D}$ ，滿足： $D_{[b} omega _{a1cdot cdot cdot al]} =tilde{D} _{[b} omega _{a1cdot cdot cdot al]}$ ，即：外微分的結果與聯絡的選取無關。

（4）設 $left( O,psi right)$ 為一坐標系，則在O上可將 $l$ 形式場即其外微分線性表出：

$omega _{a1cdot cdot cdot al} =sum_{C}omega _{mu 1cdot cdot cdot mu l} (dx^{mu1} )_{a1} wedge cdot cdot cdot wedge (dx^{mu l} )_{al}$ ， $omega _{mu 1cdot cdot cdot mu l} =omega _{a1cdot cdot cdot al} (frac{partial }{partial x^{mu 1} } )^{a1} cdot cdot cdot (frac{partial }{partial x^{mu l} } )^{al}$ ，

$(domega )_{ba1cdot cdot cdot al} =sum_{C}^{}(domega_{mu 1cdot cdot cdot mu l} )_{b} wedge (dx^{mu 1} )_{a1} wedge cdot cdot cdot wedge (dx^{mu l} )_{al}$ .

結合第3點可以看出，微分形式及其相關運算是微分流形M本身的微分結構所自然「生成」的，無需附加結構就可以完成運算。

（5）可以證明，任意微分形式進行兩次外微分運算後為零，即： $dcirc d=0$

（6）設 $omega$ 為M上的 $l$ 形式場，若 $domega =0$ ，則稱 $omega$ 為閉的。若存在 $l-1$ 形式場 $mu$ 使得 $omega =dmu$ ，則 $omega$ 稱為恰當的。可見，若 $omega$ 是恰當的，則它一定是閉的。反之，若 $omega$ 是閉的，它不一定是恰當的。在平凡流形 $R^{n}$ 中「恰當」和「閉」是等價的，對於一般流形M而言，閉的 $l$ 形式場 $omega$ 是局域恰當的。

第三部分：流形上の積分

由以上討論容易看出，微分形式的概念初看起來並不自然，但實際上，它可以從流形の微分結構中所自然地「引出」，無需流形上的附加結構。放到平凡流形中去看，很容易發現它就是第二型曲線積分（做功）與第二型曲面積分（通量）在高維情況下的推廣。下面我們討論 $n$ 維流形M上 $n$ 形式場與函數的積分。

1，微分形式の積分：

（1）結合平凡流形中的例子就會發現，在做積分之前我們要先對n維流形 $M$ 進行「定向」。即，指定一個處處連續且非零的n形式場 $varepsilon$ （若不存在則流形是不可定向的）。對於兩個連續且處處非零的n形式場 $varepsilon _{1}$ 和 $varepsilon _{2}$ ，若存在連續且處處大於零的函數 $h$ 使得： $varepsilon _{1}=h varepsilon _{2}$ ，則 $varepsilon _{1}$ 和 $varepsilon _{2}$ 給出同一個定向。由於n維流形M上每點n形式場的集合是一維矢量空間，故流形上的只可能有兩種定向。

（2）結合坐標系 $(O,psi )$ 可將 $n$ 維流形M上的 $n$ 形式場展開為：

$omega =omega _{1cdot cdot cdot n} (x^{1},cdot cdot cdot , x^{n} )dx^{1} wedge cdot cdot cdot wedge dx^{n}$ ，

可見，每一個n形式場 $omega$ 在坐標域O上可以給出一個n元函數 $omega _{1cdot cdot cdot n} left( x^{1} ,cdot cdot cdot ,x^{n} right)$ ，我們將這個n元函數的普通積的n重積分分稱為n形式場 $omega$ 的積分：

$int_{G}^{} omega =int_{psi [G]}^{} omega _{1cdot cdot cdot n} (x^{1},cdot cdot cdot ,x^{n} )dx^{1} cdot cdot cdot dx^{n}$ ， $Gsubseteq O$

（3） $Gsubseteq Ocap O$ ，考慮2形式在2維流形上的積分：

$int_{psi [G]}^{} omega _{12} dx^{1} dx^{2} =int_{psi [G]}^{} omega _{12} det(frac{partial x^{mu } }{partial x^{nu } } )dx^{1} dx^{2} =int_{psi [G]}^{} omega _{12} dx^{1} dx^{2}$ ，

可見積分值與所選坐標系無關，需要指出的是積分值依賴於所選の定向，定向改變後積分值的符號也會改變。

（4）當然，我們也可以考慮 $n$ 維流形Mの $l$ 維子流形 $phi [S]$ 上 $l$ 形式場的積分，其中， $phi :Srightarrow M$ 為嵌入。具體來說，是考慮 $l$ 形式場 $mu$ 的限制 $tilde{mu }$ 在 $phi [S]$ 上的積分。

設 $mu$ 是 $l$ 維子流形 $phi left[ S right] subseteq M$ 上的 $l$ 形式場， $phi left[ S right]$ 上的 $l$ 形式場 $tilde{mu }$ 稱為 $mu$ 在 $phi left[ Sright]$ 上的限制，

$(tilde{mu } _{a1cdot cdot cdot al} )_{q} (w_{1})^{a1} cdot cdot cdot (w_{l} ) ^{al} =(mu _{a1cdot cdot cdot al} )_{q}(w_{1} )^{a1} cdot cdot cdot (w_{l} )^{al}$ ，

$forall qin phi [S],left( w_{1} right)^{a},cdot cdot cdot , left( w_{l} right) ^{a} in T_{q} phi [S]$ ，

（5）上面只考慮了G上的積分，若要考慮整個流形上的積分，可將局部的積分進行某種類似於「加權求和」的操作「縫合」成流形M整體上的積分（單位分解）。

2，函數在流形上の積分：

考慮n維流形上n形式の積分才是有意義的，但是函數作為流形上的0形式又該如何積分呢，下面我們來考慮這個問題。

（1）n維可定向流形M上の一個連續且處處非零的n形式場 $varepsilon$ 稱為一個體元，體元的定義看似和定向的定義相同，但實際上，定向只有兩種，對體元而言，只要 $varepsilon _{1}ne varepsilon _{2}$ ，那麼，這就是兩個不同的體元。

（2）在流形M上沒有附加結構時，體元的選擇非常任意，只要和定向相配就足夠了。但是，若流形上給定了度規場 $g_{ab}$ ，體元還應該與度規 $g_{ab}$ 相適配。具體來講，要求：

$varepsilon _{a1cdot cdot cdot an} =pm sqrt{|g|} left( e^{1} right) _{a1}wedge cdot cdot cdot wedge left( e^{n} right) _{an}$ ， $g$ 為 $g_{ab}$ 在此基底下的分量組成的行列式。

（3）設 $varepsilon$ 為流形M上の任一體元， $f$ 為M上の連續函數，則， $f$ 在M上的積分可定義為n形式場 $fvarepsilon$ 在M上的積分： $int_{M}^{} f=int_{M}^{} fvarepsilon$ ，

3，Stokes定理和Gauss定理：

n維定向流形Mの緊緻子集N為n維帶邊流形， $omega$ 是M上的n-1形式場，則：

$int_{iN}^{} domega =int_{partial N}^{} omega$ ，對於2維平凡流形，它就變為我們熟悉的Stokes定理。

n維定向流形Mのn維緊緻帶邊嵌入子流形N， $g_{ab}$ 是M上的度規， $varepsilon$ 和 $D$ 分別是與 $g_{ab}$ 適配的體元和導數算符， $v^{a}$ 是M上連續的矢量場，則：

$int_{ileft( Nright) }^{} left( D_{b} v^{b} right) varepsilon =int_{partial N}^{} v^{b} varepsilon _{ba1cdot cdot cdot an-1}$ ，對於 $R^{3}$ ，它就是我們熟知的Gauss定理。

第四部分：矢量值微分形式與對偶微分形式

1，矢量值微分形式：

考慮 $l$ 形式場， $T_{x} Mtimes cdot cdot cdot times T_{x}Mrightarrow R^{1}$ ，這裡 $R^{1}$ 可以看做是一維矢量空間，將其推廣至任意矢量空間 $V$ 上便可以得到 $V$ 值 $l$ 形式場の概念。具體來說：

$V$ 維R維矢量空間， $left{e_{1} ,cdot cdot cdot ,e_{R} right}$ 為 $V$ 的一個基底， $varphi ^{1},cdot cdot cdot , varphi ^{r}$ 維M上R光滑 $l$ 形式場，

$varphi =varphi ^{1} e_{1} +cdot cdot cdot +varphi ^{R} e_{R} =varphi ^{r} e_{r}$ ，即為M上的一個 $V$ 值 $l$ 形式場 $varphi in Lambda _{M} (l,V)$ ，它將M中一點的 $l$ 個矢量變為 $V$ 中的一個元素： $left( varphi right) _{p} (v_{1} ,cdot cdot cdot ,v_{l} )=(e_{r} varphi ^{r})_{p} (v_{1} ,cdot cdot cdot ,v_{l} )in V$

對於 $varphi =varphi ^{r} e_{r} in Lambda _{M} (l,V)$ ，其外微分定義為：

$dvarphi =e_{r}(dvarphi ^{r} ) in Lambda _{M}(l+1,V)$ ，可以證明 $varphi$ 與 $dvarphi$ 與所選基底無關。

2，對偶微分形式：

對於n維流形M上一點p的 $l$ 形式的集合（矢量空間）而言， $dimLambda _{p}(l) =dimLambda _{p}(n-l)=C_{n}^{l}$ ，利用度規 $g_{ab}$ 與其適配體元 $varepsilon$ 可以在這兩個矢量空間之間定義一個同構映射：

$ast :Lambda _{M}(l) rightarrow Lambda _{M}(n-l)$ ，其中 $ast$ 稱為Hodge star。

$ast omega _{a1cdot cdot cdot an-1} =frac{1}{l!} omega ^{b1cdot cdot cdot bl} varepsilon _{b1cdot cdot cdot bla1cdot cdot cdot al-1}$ ， $omega ^{b1cdot cdot cdot bl} =g^{b1c1}cdot cdot cdot g^{blcl} omega _{c1cdot cdot cdot cl}$ ，

且取兩次 $ast$ 可得： $ast ast omega =(-1)^{s+l(n-l)} omega$ ，

第五部分：三維平凡流形

在物理上，我們似乎早就習慣了用微積分里的知識來理解電磁學和電動力學。那麼，今天介紹的微分形式究竟和我們熟知的「梯度」，「散度」，「旋度」之類的東西有什麼聯繫呢？下面我們就來看看這個問題吧O(∩_∩)O~

1，對於三維平凡流形，

（1） $delta _{ab}$ 給出了切空間到餘切空間的同構映射，故不用區分矢量與對偶矢量（1形式）

（2）同構映射 $ast :Lambda _{M}(2)rightarrow Lambda _{M}(1)$ 與 $ast :Lambda _{M}(3) rightarrow Lambda _{M}(0)$ ，使得2形式與1形式相認同，3形式與0形式相認同。

（3）所以，在 $left( M,delta _{ab} right)$ 上的微分形式都可以用其上の矢量與函數代替。

2，點乘與叉乘：

（1）點乘： $A_{a} B^{a} =delta _{ab} A^{a} B^{b}$ ，

（2）叉乘：令 $omega _{ab} =A_{a} wedge B_{b}=2A_{[a} B_{a]}$ ，那麼， $ast omega _{c} =frac{1}{2} omega ^{ab} varepsilon _{abc}= varepsilon _{abc} A^{[a} B^{b]} =varepsilon _{abc} A^{a} B^{b}$

3，哈密頓運算元：

（1）梯度： $gradf=partial _{a} f=df$ ，

（2）散度： $divf=partial _{a} A^{a} =ast d(ast A)$ ，

（3）旋度： $curlA=varepsilon ^{abc} partial _{a} A_{b} =ast dA$