當代微分幾何研究中的一些「熱門」話題

我一直在知乎上說自己是學微分幾何的。但是如果不是微分幾何方面的專家（我自然也不是），對微分幾何到底是個什麼樣的存在，認識總是很模糊。所以我決定寫一篇文章，把我看到的微分幾何裡面一些比較熱門（其實就是做得比較多的、以至於我都聽說過）的話題列舉一下，供大家和我自己梳理思路，對微分幾何到底在做些什麼有一個比較具體的認識。

下面是正文：

Ricci flow、mean curvature flow以及其他幾何流；極小曲面、極小子流形、變分法、min-max method、幾何測度論；復幾何（或許還應該加個近復幾何？）、Hermitian幾何、Kahler/hyper-Kahler幾何（最近還聽了個nearly Kahler structure，還有個almost Kahler，不過後者跟almost complex一個意思，不可積）；integral geometry（這個好像不是「積分幾何」的字面意思，好像跟Kahler幾何有關，我有個學長講過一次這個，不過我忘了）；Einstein度量以及更特殊的Ricci flat度量，以及由此引出的special holonomy, G_2 geometry；共形幾何；雙曲幾何；（拉普拉斯運算元的）譜理論；正（或者非負）曲率空間、齊次空間、對稱空間、cohomogeneity 1 or 2 or higher；度量幾何；Finsler幾何；Alexander幾何；廣義相對論、偽黎曼幾何；幾何分析和幾何中的各種pde（這個其實很偏分析）；等等。（我見識有限，歡迎大家補充）

其實現代數學的著力點更像是一個一個的問題，而不像是一個一個分支，這是數學前沿尚沒有成熟化、體系化的體現。比如對等周不等式（isoperimetric inequality）的研究，這算是什麼方向？變分法？幾何測度論？都能用到，但又都不像。此外還有人做curvature conullity 2（or 3 or higher） space之類的東西，這又算是上述哪個方向？我只能說是「傳統意義上的黎曼幾何問題」了。。

我老闆比較感興趣的是正曲率空間，這算是個比較冷門的方向，但也有一堆大佬，也有著名的猜想——Hopf conjecture（S^2*S^2或者更一般的，兩個緊單連通流形的乘積流形是否具有嚴格正截面曲率）——這個猜想有和龐加萊猜想類似的美感：一個非常簡單的空間上面滿不滿足某種本科生就能看懂的性質，然後大家都不知道答案，也不知道該怎麼attack the problem。然後因為某種原因，正曲率的幾何和齊次空間的幾何有很深刻的聯繫（至少人們目前找到的正截面曲率流形的例子都差不多是某個cohomogeneity比較低的流形的擾動）。然後順便再提一下，有本著名的書叫做Einstein manifolds，據稱是這個領域的完美教科書，但他不是一個人寫成的，我老闆也貢獻了這本書的一部分。

上面這些方向的劃分也不是界限嚴格的，照樣有交叉點。比如眾所周知雙曲幾何和低維拓撲有天然聯繫，是微分幾何學家和拓撲學家共同關注的焦點。又比如我老闆最近和別人合作寫了篇文章，講的是Homogeneous Finsler spaces of positive flag curvature，嗯，3個東西串起來了。。（Homogeneous Riemann manifolds of positive sectional curvature有完整的分類，這個是微分幾何學界眾所周知的大結果，我老闆想把這個分類做到Finsler space上面去，他認為Homogeneous Finsler spaces of positive flag curvature就是Homogeneous Riemann manifolds of positive sectional curvature，但現在有幾個exceptions他排除不掉，然後他現在讓我看看這幾個exceptions，看看有沒有辦法在黎曼情形下證明它們沒有正曲率——這個是已經知道結果的，沒有——但是原來的黎曼情形下的證明方法無法推廣到Finsler case——所以他讓我找找看有沒有新的形式上更簡單的黎曼情形下的證明，which can be generalised to Finsler case）——所以我花了這麼大一自然段描述了老闆最近給我布置的一個project，有興趣想了解詳情或者想指導我的請私信我。

所以別看微分幾何這麼一個「小小」的數學分支，裡面的內容海了去了，open problems數不勝數。如果有誰能精通我上面提到的所有微分幾何的熱門方向，請受我一拜——您一定是當今數學界泰斗。如果有誰能精通當今所有數學分支。。。對不起我不認為人類能做到這一點，只有人工智慧化的維基百科能做到這一點。

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