【反老法師通俗演義】圖像質量評價標準基礎科普（下）

歡迎關注公眾號「蘭拓相機租賃」或「qicaidang」，有我們的全部評測文章和免費在線課堂。

第七章 地獄之門

前幾天的推送，可能大家看得還是雲里霧裡。不明白具體講了什麼，是什麼意思。其實，我想告訴大家的核心思想其實是這個：

攝影圈不該有玄學，什麼味道啊色彩啊毒德大學啊，都有對應的數學模型，時域不行咱去頻域，總有辦法能攻克它。

這也是我們評測的核心目標和方法——對用戶的實拍效果負責，提供嚴謹而有價值的參考數據。但你們面對的是我一一給出的解釋，而不是這些冰冷的數據。我力求客觀，但絕不冷漠。

那麼，我們今天就來談另外一個玄學指標——焦外成像。

焦外成像（Bokeh）在照片畫面表現中的作用有時候甚至不亞於焦內成像，歷史上也出現過諸多以焦外虛化效果而聞名的鏡頭——比如美能達135mm f/2.8(T4.5）STF。但焦外成像相對來說比較難以量化，從而也成為了老法師泛濫的一個重災區。

以V爺為首的科學方法黨在各個論壇使用過雙盲測試的方法來對鏡頭焦外成像做評價，不得不說這種方法極其具有開創性——但缺點也是明顯的：無數學，不科研。沒有量化數據的輸出、存儲和對比，也十分不方便在更多不同鏡頭之間進行直接的比較。雙盲測試用來打臉可以，用來做評測的話，其實還遠遠不夠。

那麼，究竟該如何量化焦外成像呢？

熟悉攝影或者攝影器材的人或許知道，焦外成像的本質是彌散圓，也就是說本來應該聚焦成一個點的圖像，由於沒有合焦而發散開來，成為一個圓形。彌散圓的大小是景深的標誌性指標，屬於研究焦外成像的入門層面。

很顯然，這是一個從點到平面圖形的映射，也就是我們之前說過的函數或者信號。首先我們要解決的，就是如何從數學上去描述一個點和一個平面。

平面圖形都有對應的曲線方程，描述起來沒有任何壓力。問題就在於點這個東西，應該如何描述。

對於一個理想點來說，它應該具有以下三個特點：

其中C是某個常數。

符合這個條件的函數其實是存在的，叫做狄拉克函數或者δ函數，用以描述平面上的一個點。當然它不能用一般的解析式描述，屬於廣義函數的範疇。

這個就是狄拉克函數δ(0)的圖像，用於表示坐標原點處的一個理想點。推廣到二維空間當中依舊成立，可以用δ(x,y)來描述位於坐標(x,y)處的一個點。描述鏡頭焦外的函數，便是這樣一個點通過散焦光學系統之後得到的響應。這個描述方法在數字圖像處理上有一個專門的名字，叫做點擴散函數——只要求出點擴散函數的分布，便可以描述鏡頭的單點散焦特徵。

知道了單點散焦的特徵，那麼該如何求取整個焦外成像的特性呢？

把所有的點都加起來就可以了？不，遠遠不夠。

由於每一個點都是擴散的，也就是說，對於一個特定的位置來說，每一個點造成的散焦對這個位置成像的影響都不同，不能通過簡單的求和來求取焦外成像的特性。我們令這些擴散之後的點擴散函數為g(τ)，原始圖像如果合焦，其描述函數為f(t)來討論一下這個問題——點擴散函數是如何影響焦外成像效果的。我們假設有一個點X，它受到了來自遠近不同的各點的點擴散函數影響：

其中ABCD都是被虛化的點，那麼從圖上，以及我們的一般認識當中可以看出：離X越遠的點，對X處成像效果的影響越小。所以實際上影響虛化效果的是每個點到X的距離f(t-τ),求出這個值之後，將其乘以每個點擴散函數g(τ)，便得出了某一個點對於X處虛化效果的影響。ABCD……這樣的點有無窮多個，所以我們從距離0到∞對所有擴散之後的值積分，即：

這個公式在信號處理上叫做卷積積分，用來求取當知曉系統對理想δ函數的響應（或者叫單位衝激響應）之後，系統的全響應。關於卷積，有個著名的段子，在此貼過來博大家一樂。

有一個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，而且有個慣例：如果沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。有一個無賴，想出人頭地卻沒啥指望，心想：既然揚不了善名，出惡名也成啊。怎麼出惡名？炒作唄！怎麼炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政長官——縣令。

無賴於是光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，後果是可想而知地，自然被請進大堂挨了一板子，然後昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！第二天如法炮製，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天......每天去縣衙門領一個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持一個月之久！這無賴的名氣已經和衙門口的臭氣一樣，傳遍八方了！

縣令大人噤著鼻子，獃獃地盯著案子上的驚堂木，擰著眉頭思考一個問題：這三十個大板子怎麼不好使捏？......想當初，本老爺金榜題名時，數學可是得了滿分，今天好歹要解決這個問題：

——人（系統！）挨板子（脈衝！）以後，會有什麼表現（輸出！）？

——廢話，疼唄！

——我問的是：會有什麼表現？

——看疼到啥程度。像這無賴的體格，每天挨一個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他

那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；如果一次連揍他十個板子，他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺著不哼（輸出1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫，一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉強哼出聲來（輸出1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出0）—— 死啦！

縣令鋪開坐標紙，以打板子的個數作為X軸，以哼哼的程度（輸出）為Y軸，繪製了一條曲線：

——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。為啥那個無賴連挨了三十天大板卻不喊繞命呀？

——呵呵，你打一次的時間間隔（Δτ=24小時）太長了，所以那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是一個常數；如果縮短打板子的時間間隔（建議Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（t=30）時，痛苦程度達到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果，再多打就顯示不出您的仁慈了。

——還是不太明白，時間間隔小，為什麼痛苦程度會疊加呢？

——這與人（線性時不變系統）對板子（脈衝、輸入、激勵）的響應有關。什麼是響應？人挨一個板子後，疼痛的感覺會在一天（假設的，因人而異）內慢慢消失（衰減），而不可能突然消失。這樣一來，（注意：這裡是時域的例子，但是用空間距離代換時間間隔，一樣適用）只要打板子的時間間隔很小，每一個板子引起的疼痛都來不及完全衰減，都會對最終的痛苦程度有不同的貢獻：t個大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ個大板子引起的痛苦*衰減係數)[衰減係數是（t-τ）的數，仔細品味]

數學表達為：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

——拿人的痛苦來說卷積的事，太殘忍了。除了人以外，其他事物也符合這條規律嗎？

——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，鐵絲為什麼彎曲一次不折，快速彎曲多次卻會輕易折掉呢？

——恩，一時還弄不清，容本官慢慢想來——但有一點是明確地——來人啊，將撒尿的那個無賴抓來，

狠打40大板！

那麼，測量焦外的問題就變成了——如何測定系統的點擴散函數？如果大家高中數學不是語文老師教的，應該還記得一件東西——導數。我們的待測函數δ(t)，實際上就可以看做是單位方波其中一側的導數。而對於線性系統，我們有以下結論：

如果對系統輸入信號f(x)，輸出的信號是g(x)的話，那麼輸入信號f(x)_，輸出的信號就是g(x)。

所以我們依然可以用方波標板來測系統的點擴散函數——就是麻煩一點，這個過程無法通過imatest軟體自動化，需要自己做很多的數學工作。

第八章 通向我們的路

作為一個評測機構，其實寫這幾篇推送的目的不單純是為了做科普。

更重要的是為了聲明自己得出結論的合法和合理性。

DxO沒有給出測試方法和原始數據，結果現在用來做爭論依據的時候總是感覺差點兒什麼；Zealer一直沒公布某些測試的方法和數據，也是被人噴來噴去。

我看，是時候終結這一切了。

不過由於信號學這個東西本來就不是什麼大眾學科，可能很多人看起來偏難，看不懂。為讀者們推薦一件神器：

《漫畫傅里葉解析》日·涉穀道雄

這本書基本是從最基礎的高數開始講解的，包括什麼是積分、三角函數正交性的必要性和證明……等等，而且畫風腦洞夠大，實在是理解傅里葉分析法的不二神器。

已上傳百度網盤，地址：http://pan.baidu.com/s/1qW3a8n6

看完這本漫畫，再來看這幾期推送，相信就容易很多了。

有人對於「像素即正義」這件事有所疑問，提到了衍射極限光圈的問題。

首先我想說的是，就算從通常的角度來理解，衍射極限光圈問題也只會由於感測器解析度的提高變得更容易察覺而非更容易出現（很多理工科的孩子在這兩個問題上也拎不清，就像很多人拎不清相關性和因果性一樣）。而如果要裝逼一點解釋的話，我從網上找了個現成的圖：

夫琅禾費衍射圖樣的二維傅里葉變換式

懂一些複變函數的人都能看出E(x,y)同樣包含了無限的高頻成分。當然不懂也無所謂，記住結論就可以了。（為什麼懇求老法師不要吹低像素就這麼難……）

其實到這裡，就該結束了，我們評測中見。有些理論不結合實際情況還是挺難講清楚的。

http://www.iRentals.cn/Test ，我們這裡見。

推薦閱讀：