經濟學模型解釋你為什麼單身？

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之前有一個很火的知乎問題是經濟學中有哪些理論可以用在戀愛中。看著大家各種花樣虐狗，我想說單身狗也是有狗權的。我來教大家如何用經濟學模型解釋你為什麼單身。

勞動經濟學中的search model（尋找理論）用來解釋單身再合適不過了。單身也是一種」失業「。Search model最早提出於上世紀六十年代，用來描述個人尋找工作的過程，從而解釋為什麼會存在失業的現象。下面我希望通過介紹這個模型解釋為什麼會存在單身的現象（。。還不是看臉？）。

直接上數學，前方高能，可能引起不適。結論在最後。

假設有這樣一個王老五，他風險中性，有著 $beta=frac{1}{1+r}$ 的折現係數( r是利率)。這個王老五為了找對象，每天不停的刷Tinder。假設每過一段時間，會有一個姑娘看對了眼，也選擇了向右滑動。這個一段時間的長度可能由顏值決定，顏值高可能就分分鐘的事吧；顏值低就長一點，一個月兩個月，總會撞上一個的吧。然後，這個姑娘的顏值服從一定的分布，我們可以記做 F(y), 其概率密度函數記做 f(y)。那麼現在王老五就要面臨一個選擇了，要不要放棄自己的單身生活，讓這個顏值為y的姑娘做自己的女朋友呢。假設王老五在每單位時間裡可以獲得的單身效用是 b。而尋找妹子的過程非常耗費精力，一個單位時間要消耗的效用是 v (註：v也可以是一個負數，也就是尋找妹子的過程也可以是非常愉悅的)。那麼一個積極尋找妹子的王老五每單位時間裡獲得的效用是 b-v。而在擁有了女朋友以後，王老五每時間單位獲得的效用值與妹子顏值相等，是y。在這裡，為了方便計算我們假設了每個妹子的維護成本都是0。（當然在現實中一般來說維護成本可能是y的函數）。在我們第一個要描述的模型中，我們先排除王老五是渣男的可能性。也就是說王老五不會背著女朋友再找別人。

在這裡我們可以看到，因為不是渣男的王老五有著「決定愛一個人就愛一輩子(除非被甩)」的信條，他面臨的一個主要的trade-off是，選擇一個顏值一般的姑娘，就意味著放棄了未來可能出現的深愛自己的超模姑娘，但是等到漂亮姑娘可能性很低，如果選擇等待，一輩子單身也說不定。

現在我們要通過bellman equation來解出王老五會接受顏值多少以上的姑娘。假設王老五在某一時刻 t 開始時是單身的，我們用V表示從這一時刻 t 起，王老五每一時刻都做出最佳選擇後一生可以達到的幸福值。為了簡便計算，我們假設王老五的一生很長，無窮無盡，因此 V 是 stationary的，也就是說從任何一個時刻計算V都應該是一個定值。因此我們可以寫下下面這個均衡狀態的等式：

$V=b-v+betaint_{0}^{infty}max (V,frac{y}{1-beta}) f(y)dy$

在等式的左邊是在 t 時刻的一生幸福值，而等式的右邊將這個分解開來成為兩個和。右邊第一項 b-v 是 t 時刻作為積極尋找妹子的單身的效用，第二項則是將t+1時刻以後所有的效用貼現。 $max(V, frac{y}{1-beta})$ 代表了老王要在兩個選擇中決定一個。如果選擇了顏值為 y 的妹子，他以後就不用單身了！可以每一個時刻都獲得 y 的效用，也就是 $sum_{k=0}^{infty}beta^k y=frac{y}{1-beta}$ 。而如果他放棄了妹子，下一個時刻開始的時候他依然是單身，餘生幸福值是V。老王會選擇給他最多幸福感的那個，但是這取決於遇到的妹子顏值 y。於是我們通過積分和概率密度函數求得老王下一時刻可以得到的幸福值的期望。