方邊界薄膜受均布荷載的彈性力學精確解

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作者：馮某某

專欄首文，拿一個去年做的題目來玩玩吧。解個偏微分方程提高一下逼格【其實並沒有，但是造福一下小學弟讓他們知道一下大作業的精確解是怎麼解出來的大霧

思路非常簡單，先固定一邊的邊界條件，然後將其展開成傅里葉級數，匹配另一邊的係數。得到一個解之後再與原先的邊界疊加即可。嚴格的證明需要一些線性泛函分析的內容。但是現在看看自己當初絞盡腦汁將這樣一個問題解決，然後發郵件給老師炫耀，還是覺得自己萌萌噠~

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題目是這樣的，一個方邊界的2×2的薄膜，四邊簡支，受2的均布荷載，求中心點的沉降。

在藉助二元歐拉方程之後，我們可以將問題化為求解下面這一個拉普拉斯方程。需要說的是為了方便，我將這個曲面的y軸翻轉了，大家可以想像一隻鍋蓋233

邊界條件如下：

更符合數學習慣的，我們做一個坐標系的平移，將現在的(0,0)點移動到(1,1)點，以原先的(-1,-1)點為原點建立坐標系。

方程改寫為：

我們先不考慮轉角為0的邊界條件，從固定的位移邊界條件著手。

先考慮邊界條件下的特解，由：

顯然是一個特解。

接下來我們令

因此滿足齊次定解問題：

根據分離變數法，我們尋找

形式的特解。將其代入拉普拉斯方程及的邊界條件，可以得到：

利用分離變數原則，我們得到關於的特徵值問題：

以及關於的常微分方程：

對於特徵值問題

我們有特徵值：; 特徵函數:

接下來，我們在把帶入關於的常微分方程

從而得到通解：

因此，我們得到方程滿足其次邊界條件中定值邊界條件部分的分離變數形式的解：

其中常數待定，以便滿足第三個邊界條件。

將代入最後的邊界條件，我們就得到：

其中為函數在區間[0,2]中的正弦項係數，即：

由此最終可以算得：

於是乎我們很開心的，用：

倒著算出了u的函數表達式。

然後我們再校核邊界上轉角為0（一階偏導數為0）的條件，由於我們最終得到的函數是對稱的，先考察指數函數，在邊界上求導數一正一負恰好抵消，滿足邊界條件；再看三角函數，在x=0,2上是顯然的。

接下來我們把計算出來的解析解用Mathematica求10項級數和，得到答案

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