某些偏微分方程的隨機積分表示問題？

01-27

在隨機分析中, 可以根據伊藤公式得到某些線性偏微分方程的解的隨機積分表達式. 舉例而言, 對於有界光滑區域 $Omega$ 而言, 橢圓方程的Dirichlet問題
$sum_{i,j=1}^na^{ij}partial_ipartial_ju+sum_{k=1}^nb^kpartial_ku-ku=-g,\ u|_{partialOmega}=f$
的解(如果存在)有表示 $u(x)=E^xleft[f(X_{ au_Omega})e^{-int_0^{ au_Omega}k(X_s)ds}+int_0^{ au_Omega} g(X_t)e^{-int_0^{t}k(X_s)ds}dt ight]$ ,
其中隨機過程 $X_t$ 適合隨機微分方程

$X_t=x+int_0^tb(X_s)ds+int_0^tsigma(X_s)dW_s$ .
問題是: 如果原來的Dirichlet問題本來就沒有解, 那這個隨機積分表示代表的是什麼? 例如, 微分運算元是Laplacian, 而所考慮的Dirichlet問題是Laplacian的Dirichlet特徵值問題, 方程右邊恰好不在值域里. 在這種情況下, 這個隨機積分表示似乎也是有意義的(相應的隨機微分方程有解, 所有要考慮的函數都有良好的正則性).
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問題描述不甚清楚, 導致諸位答主可能產生了一些誤會. 我把問題再明確些寫出來. 所謂的無解問題, 並非是邊界形狀不夠光滑, 而是這問題本身有"障礙". 比如設 $D$ 是單位圓盤, $lambda_1$ 是Laplacian在 $H_0^1(D)$ 上的第一特徵值. 則邊值問題

$Delta u-lambda_1u=f,$ $u|_{partial D}=0$
對於哪怕是正則性特別好的 $f$ 也可能沒有解, 因為運算元 $Delta-lambda_1$ 的像空間是 $H_0^1(D)$ 的真閉子空間(余維數為1, 因為第一特徵值是單重的, 由緊運算元的譜論即推得).
所以問題是這樣的: 如果光滑函數 $fin C_0^infty(D)$ 並不在運算元 $Delta-lambda_1$ 的像空間中, 則相應的隨機積分表示代表什麼? 無疑此時方程沒有解, 但隨機積分表示是良好定義的, 因為所有涉及到的函數都是光滑函數, 邊界也足夠光滑, 所以相應的隨機微分方程可解(解甚至可以明顯的寫出來), 相應的停時也是良好定義的.

簡單說幾點吧，PDE的部分不是很熟，我從過程開始說。

1.隨機分析里一般把上面的PDE稱作該過程的Kolmogorov方程，從SDE得到它的Kolmogorov方程就是用伊藤公式計算，這本身要求了u的可微性；

2.得到PDE的概率解還有一個很重要的條件，就是邊界的首達時是一個停時，這對邊界本身的正則性有要求，但是具體的條件我忘了。。。

3.當邊界不夠光滑時，SDE有意義，但是對應的Kolmogorov方程在PDE的理論里可能沒有解，這種情況下，根據馬氏過程的理論，邊界點將被分為正則點和奇異點（邊界光滑時，所有邊界點均為正則點）。所謂奇異點，可以理解為從區域內部出發的過程無法到達的點，這樣的點在概率的意義下時不用考慮的，這個時候Dirichlet邊值條件的提法可以只針對正則點。

放假回家略早，身邊沒有合適的書，純憑印象回答，可能有不準確的地方。關於這方面的書，一時只能想起黃志遠老師的《隨機分析學基礎》和Durrett的&有相關的內容。

大概明白題主的困惑了，我也沒有完全弄清楚這個問題，再說說我的想法吧。

先簡單複述一遍概率解是怎麼得到的：

以laplacian為例，考慮方程

$frac{1}{2}Delta u+cu+g=0$ in $G$ , $u=f$ on $partial G$ ,

這裡G是一個邊界足夠光滑的有界開區域（比如圓盤）。

這個方程的概率解需要通過布朗運動來得到，如果是一般的方程，就像題主一開始列出的方程，則需要構造過程X，使得X的生成元恰好是方程的線性項。在這裡，布朗運動的生成元就是laplacian。

1.令 $M_t=u(B_{twedge au })exp(int_0^{twedge au}c(B_s)ds)+int_0^{twedge au}g(B_s)exp(int_0^sc(B_r)dr)ds$ ,若u為方程的解，則由伊藤公式計算可得M是一個局部鞅。

2.若有足夠好的控制條件，令 $t o infty$ , $u(x)=E_x(M_t)=lim_{t ightarrow infty}{E_x(M_t)} =E_x[f(B_{ au})exp(int_0^{ au}c(B_s)ds)+int_0^{ au}g(B_s)exp(int_0^sc(B_r)dr)ds)]$ .

這樣就得到了一個概率解，但是關鍵在於第二步的足夠好的控制條件，在這個問題里，一般來說會取這樣的條件，