Fermat原理中的「最小時間原理」有嚴格證明嗎？

01-27

對於變分法，曾有人說過這樣的話。「上帝創造的宇宙的結構是如此的盡善盡美，以至世界上沒有任何事物不顯示出極大或極小的性質。因此，毫無疑問，世界上的一切結果都可以用極大和極小方法從其終極原因及其有效原因中導出來。」
舉例1：最速降線問題。
一系列曲線中滿足要求的必然是泛函取得極值時的曲線。

舉例2：Fermat原理
俗稱「最快到達原理」、「最小時間原理「，如光線傳播的路徑總是滿足這樣一個規律：它總能使光在最短的時間內到達目的地。
請問：
1、這個終極原因是人們從哲學角度思考出來的，還是可以證明出來？

2、這些終極原因是否類似牛頓運動定律，只能用它們來描述世界，卻解決不了「第一推動力」的問題？

這相當於問「最小作用量原理」是否是第一性的。

經典層次上，最小作用量原理可視為第一原理。但在量子層次上，其可由概率幅疊加原理導出。

這裡有兩點：

最小最用量原理是「非局域」的（這正是很多人困惑於粒子如何能超然且先驗地知道一條整體的路徑），但概率幅疊加不是，所以更為自然；
世界本質是量子的，實際上並不存在一條叫「經典路徑」的東西，所以也無所謂選擇這條經典路徑使得作用量取極值（經典只是近似，牛頓力學經典粒子的運動，同樣可以用概率幅疊加計算）。從這個意義上，最小作用量原理並不是第一性的。

變分只是從作用量得到經典運動方程的一個數學手續，但作用量的物理內容要大於經典運動方程。二者只在經典層次等價。

你引的這段話是歐拉說的。你似乎把這裡面的「終極原因」一詞的意思當成了「一切物理現象的最終解釋」，這純屬不了解科學史而造成的望文生義。當然這個翻譯也確實翻得不太好，容易誤導人。我們還是回到歐拉的原文，看看他到底在講什麼。

這段話出自歐拉1744年的《求擁有極大或極小性質的曲線或按最廣義理解的等周問題的解的方法》（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio
problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti）一書的附錄一，就是這本書奠定了變分法的基礎。

原文當然是拉丁文，我根據英譯本重新翻譯一下這段話：

既然宇宙的結構是最完美的，出自絕對最智慧的造物主，宇宙中發生的一切就不可能不顯示出某種極大或極小的關係。因此，毫無疑問，宇宙中的所有結果都能藉助極大極小方法從目的因（causa finalis）滿意地加以確定，不亞於從效力因（causa efficiens）本身來確定。……因此，要認識自然的結果，有兩條路可行：一條是通過效力因，通常稱為直接方法；另一條是通過目的因；數學家運用這兩種方法取得的成功是同等的。當然，在效力因過於隱蔽，而目的因不那麼容易躲過我們的認識的時候，問題通常就用間接方法加以解決；反過來，只要是可以從效力因來確定結果的時候，就運用直接方法。（Euler 1744, p. 245.）

這裡面的「目的因」和「效力因」兩個詞來自亞里士多德的「四因說」。按照這一學說，每個事物的原因都是四個：質料因、形式因、效力因和目的因，要把這四個原因都討論到，才算是完整地理解了一個事物。「目的因」當中的「目的」既是指「為了什麼目的」，同時也要按照「目的地」來理解，在希臘語裡面，「目的」和「終點」是同一個詞 telos，一個運動變化最後達到的終點就是它的目的。例如鍛煉身體的目的因是健康，這既可以說成鍛煉身體是為了健康，也可以說成鍛煉身體最後達到的終點是健康。所以目的因也常常被翻譯成「終極因」，這個「終極」指的就是「終點」，而不是指「最根本」。「效力因」也被翻譯成「動力因」，指的是「是什麼導致這個事物產生」或「是什麼導致這個事物變成這個樣子」，也就是「推動者」。例如父親是兒子的效力因，工匠或雕塑技術是雕像的效力因。

在17世紀科學革命中，原因概念發生了重大改變，一個顯著的傾向是突出效力因，逐漸取消其它三個原因。在物理學中，效力因演變成了「力」的概念，討論效力因就是分析一個物體的受力來解釋它的運動或靜止狀態。但是，還有很多人不希望目的因被淡化和取消，因為目的因歷來都跟宇宙的價值、意義，跟最高的善聯繫在一起，宇宙中每一個事物都有目的，那麼宇宙作為整體也有一個目的，這個目的就跟每一個人畢生的終極追求聯繫在一起，使人生變得有意義。從這種傳統觀念來看，自然事物失去目的因所影響到的不只是科學，人也將變得無所適從。所以許多人試圖在自然科學中保留目的因的地位，以證明宇宙是一個智慧的造物主為了某個目的造出來的，從而確保人的生命仍然有意義。歐拉和莫泊丟就是抱著這樣的想法，把極大極小方法跟目的因聯繫起來，看成宇宙完美性和造物主智慧的體現。

現在可以來理解歐拉的那段話了。這段話說，解答物理問題有兩種途徑，一種根據效力因來推導出結果，這是直接方法；另一種是根據目的因來推導出結果，這是間接方法，也就是極大極小方法。歐拉接著舉了一個例子：懸鏈線問題，即一條兩端掛起來的繩子或鏈條在重力作用下會成為什麼形狀。在這個問題中，繩子最終的形狀是結果，導致這個結果的效力因就是繩子所受到的重力，分析繩子上每一小段的受力情況，可以求出繩子的形狀。那目的因是什麼呢？繩子最終的那個形狀必定使得整條繩子的重心最低——「重心最低」就是目的因，根據這一點就可以應用極大極小方法求出繩子的形狀。類似地，在最速降線問題和光的折射問題中，目的因就是「時間最短」。

歐拉的本意是想在自然中保留目的因，從而維持宇宙的目的和意義。可是，當他說同一問題既可以用直接方法又可以用間接方法解決的時候，實際上相當於說目的因跟效力因可以相互導出。既然如此，那還有什麼必要保留兩者呢？只保留其中一個不就夠了嗎？而且，目的因在歐拉這裡也失掉了跟價值和意義的聯繫，退化為單純數學上的極值條件。因此，歐拉的工作不但無法抵抗當時在自然科學中取消目的因的潮流，反而加劇了這一傾向。這可真是一個出乎意料的結局。不久之後，物理學把目的因從物理世界中徹底驅逐出去，再接著，進化論又在生命領域和人的領域中也消除了目的因。從此，人的生命的價值和意義再也不能由造物主預先設定的一個固定不變的目的來決定，而只能由人的心靈在不斷的自我構造、自我立法當中自行產生出來，生命的意義變得更自主、更多元，但同時也變得更脆弱、更難尋覓。

明確了「終極因」一詞的含義，也就看出，你問的兩個問題都是由於誤解詞義造成的假問題。因為你誤以為「終極因」指的是「宇宙的最根本原理」，所以才會問它能不能被證明，以及跟「第一推動」有什麼關係。但實際上歐拉這段話完全不涉及什麼「根本原理」，「終極因」在這裡僅僅是指每一個具體問題中的極值條件。只有把你這兩個問題中的「終極原因」換成「費馬原理」或「最小作用量原理」，才能使之成為可回答的問題。

1、最小作用量原理是哲學上想出來的還是證明出來的？

最小作用量原理在經典領域無法從其它基本原理推導出來，只能視為不證自明的。而它的適用範圍又那麼廣，費馬原理、牛頓定律、麥克斯韋方程都可以由它導出，所以很多人相信它是基本的、獨立的。早期的科學家從各種哲學的、神學的或審美的理由出發來說明最小作用量原理的可靠性，但是這些說明都稱不上「證明」，只不過是表達了個人的信念而已。不過，物理學家從未放棄證明它的努力，量子力學為物理學家開闢了新的道路，最終費曼從概率幅疊加原理出發建立了量子路徑積分方法，由此證明了最小作用量原理。

//感謝@髙顯指正

2、最小作用量原理是否僅僅描述世界而不回答「第一推動」問題？

是的。「第一推動」問題在近代科學裡面實際上已經被取消掉了，這也是由於原因概念發生了根本的變化。前面我們看到古希臘的原因概念都是在講「一個事物」的原因，而今天的人講原因都是講「一個事件」的原因，再也不講一個事物有什麼原因了。只有在希臘的效力因概念下才會有「第一推動」的問題，因為效力因指的就是推動者，在這個概念下才會問有沒有一個「第一推動者」。而當近代科學把效力因轉變為一個完全數學化的力概念的時候，就使它失去了「推動者」的意思。力不是一個事物，不能把力叫做推動者，它只是一個事物對另一個事物的作用，並且這種作用還是相互的，所以也沒法說這兩個事物哪一個是推動者哪一個是被推動者。於是原因概念的含義逐漸從事物的原因轉變為事件的原因，這樣就沒法再去追問有沒有「第一推動者」的問題了。