微分兩邊能不能同時做定積分？

01-27

比如，p(x)dx=g(y)dy(y=t(x),p,g都是已知函數)，書上在解這個的時候，兩邊同時做了不定積分，求出原函數，但高數書上從未見過這類等式兩端同時做定積分的，所以我想問一下，這兩端能不能同時做定積分以及變上限定積分？因為我在物理書上經常看見dW=f(x)dx，兩邊同時取[a,b]定積分的例子。
另在等式p(x)=g(y)兩邊同時取定積分是不是就是 $int_a^b p(x) dx = int_a^b g(y) dx$
那這麼按理說來對p(x)dx=g(y)dy兩端取定積分難道不應該是這個？

$int_a^b [p(x)dx] dx= int_a^b [g(y)dy] dx$
如果對p(x)dx=g(y)dy兩端對x的變上限定積分，下列推導是否正確（ $y=t(x)$ P和G是對應pg的某一原函數）？
$int_0^x p(x)dx = int_0^x g(y)dy ightarrow int_0^x p(x)dx=int_0^{t^{-1}(y)} g(y)dy$ $ightarrow P(x)=G(t^{-1}(y))=G(x)$
又 $int_0^xp(y)dy=int_0^xg(t(x))t(x)dx$
所以
$G(x)$ 和 $int_0^xg(t(x))t(x)dx$ 是相等的？

小弟基礎差，請多多賜教，多謝！

謝邀。

你寫的前兩個自然段都是對的。f(x)dx=g(y)dy是能推出 int f(x)dx= int g(y)dy, 而f(x)=g(y)是能推出int f(x)dx= int g(y)dx .（當然y和x要滿足一定函數關係，不能是兩個獨立的變數）。但是，f(x)=g(y)和f(x)dx=g(y)dy是兩個含義不同的等式，你可以把f(x)dx=g(y)dy理解成f(x)/g(y)=dy/dx，也就是通常意義下的y對x的導數。

至於f(x)dx這種東西，它們有名字，叫「微分形式」，因為它只包含一個dx，所以屬於「1-形式」；如果是f(x,y)dxdy這種東西，它們就叫做「2-形式」，再往上類推。我們在通常的微積分裡面積分，實際是對微分形式積分，而不是對函數本身積分。int f(x)dx才是完整的寫法，int f(x)是不完整的簡略寫法。

至於什麼叫微分形式，以你現在的知識基礎很難理解透徹。有些數分書上會嘗試去引入微分形式的語言並進行解釋，比如復旦的數分書，但是根據我的觀察，同學們的學習效果並不佳。。所以你就把它當成一個記號就行。比如g(y)dy，你要對它進行轉換，就可以寫成g(y)dy=g(y(x))* dy/dx *dx，就是積分裡面的變數代換公式，然後根據你自己的需要選擇對y變數積分還是對x變數積分，一般是哪個算起來方便選哪個，算出來的結果是一樣的（當然這裡要求y對x的函數關係滿足一些條件，比如一般要求是可微單射，就是變數代換公式要求的那些條件）。

最後的等式，不成立哈。積分限要變的。

不知道你們大學物理和數學的教學進度。

在數學上這是可以的，應該是在微分方程（我是工科生，學的是閹割版微分方程）那一章講到的吧。仔細看看就明白啦。

∫(積分)和∑(求和)是差不多的東西，

p(x)dx=g(y)dy，是說求和的每一項都相等，只要保障項數相同（積分上下限滿足x,y之間的對應關係），求和後的結果必然相同。

另外你那個推導顯而易見是不對的。

$int_a^bf(x)dx=int_a^bg(y)dy$ 不對。你可以將 $g(y)dy$ 看成 $g(y(x))y(x)dx$ 的簡寫。所以，對 $x$ 從 $a$ 到 $b$ 積分對應於對 $y$ 從 $y(a)$ 到 $y(b)$ 積分。