y"+y=0不用複數能解嗎？

01-27

書上用了複數的歐拉公式，這是唯一解法嗎？感覺實數的問題應該有實數解法

$frac{d^2y}{dx^2}+y=0$

令 $p=frac{dy}{dx}$

那麼 $frac{d^2y}{dx^2}=frac{dp}{dx} =pfrac{dp}{dy}$

原式變為： $pfrac{dp}{dy}+y=0$

$d(p^2+y^2)=0$

$p^2 = -y^2+C_1$

即： $frac{dy}{dx} = pmsqrt{-y^2+C_1}$

解其中一支： $frac{dy}{dx} = sqrt{-y^2+C_1}$

得： $arcsin frac{y}{sqrt{C_1}} = x+C_2$

$y = sqrt{C_1}sin(x+C_2)$

另一支的解為： $y = sqrt{C_1}sin(-x+C_2)$

可以統一寫為： $y = C_1sin(x+C_2)$

有些很容易用複數研究的問題如果不用複數的話挺麻煩的.

比如數列 $a_{n+2}=a_{n+1}-2a_n$ 的通項.

然而其實這也不是本質的, 用 $left{left. egin{pmatrix}a b\-b aend{pmatrix} ight|a,bin mathbb{R} ight}$ 完全可以代替複數.

具體到這個問題的話, 它其實就是 $egin{pmatrix}y\zend{pmatrix}=egin{pmatrix}0 1\-1 0end{pmatrix}egin{pmatrix}y\zend{pmatrix}$ .