代數幾何是否對pde的研究有啟發？

01-27

考察緊黎曼曲面上的穩定向量叢

著名的Narasimhan-Seshadri-Donaldson定理告訴我們，

緊黎曼曲面上不可約的穩定向量叢的模空間與 U(n)-Yang-Mills聯絡的模空間是同胚的。

這給了同一個問題的兩個side，左邊是純代數幾何的，右邊則是微分幾何的。

穩定向量叢本身就是一個代數幾何的對象，和GIT有一定淵源。事實上，早年Narasimhan-Seshadri的證明是代數幾何的，所以不需要Yang-Mills聯絡的概念。而現代對穩定向量叢的研究也有代數幾何的方式。

而微分幾何方式，則由Atiyah, Hitchin, Donaldson等人開始。轉化到微分幾何的這個side之後，諸多問題轉化成了幾何分析問題，如Uhlenbeck對曲率Lp有界聯絡的研究，著名的Uhlenbeck弱緊性定理等。而後這套方法由Donaldson發揚光大，他著名的論文A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri中，給出了NSD定理一個非常漂亮的分析證明。

出於這些技巧，我們可以從分析技巧給出相應的模空間的緊化。當然類似的事情也出現在黎曼曲面模空間上，比如通過Weil-Petersen度量給出的黎曼曲面模空間的完備化恰好是Deligne-Munford緊化。

同樣的問題在高維的Kahler流形上也是有類似物的，即Kahler流形上不可約的穩定向量叢的模空間與Hermitian-Einstein聯絡模空間的對應，即現在所稱的Kobayashi-Hitchin對應。

現在關於穩定向量叢的研究，還有很多。我認為這算得上是一種啟發。

問題基本上來源於代數幾何，而產生了漂亮的微分幾何/幾何分析的解答。

贊同提到Donaldson-Uhlenbeck-Yau的答案，但是該回答更多地解釋了PDE工具對於代數幾何/微分幾何的影響，儘管相關的分析證明在本質上利用了幾何的觀察和條件。我所給出的答案，一是對該答案進行一些補充，二是回答「AG如何影響PDE」。

這一套方法對於PDE的影響應該換一種方式進行論述。DUY定理，包括後來的Higgs bundle上的Corlette-Simpson定理，源於Atiyah-Bott在無窮維空間上的symlectic reduction。設 $Sigma$ 是一個黎曼面，並假設 $P$ 是 $Sigma$ 上的unitary principle bundle。將 $P$ 上所有unitary connection全體 $mathcal{A}$ 是一個以 $Omega_{Sigma}^{1}(mathfrak{g})$ 為model的affine space，其切空間可以同 $Omega_{Sigma}^{1}(mathfrak{g})$ 進行等同。在這個空間上有一個自然地Kaehler結構： $(a, b) mapsto int_{Sigma} Tr(a wedge b)$ 。而unitary gauge group在 $mathcal{A}$ 上作用，並且保持這個Kaehler form。通過計算可以得出，這個Hamiltonian action的moment map恰好由 $A mapsto F_A$ ，即曲率給出。

在70年代，Kempf-Ness觀察到在某種意義下，symplectic quotient和GIT quotient等價。這個理論在向量叢上的類比就是Hitchin-Kobayashi correspondence。在這裡，因為unitary group李代數的中心是虛值對角陣，因而unitary gauge group自然地作用在曲率取值在李代數中心的connection上，即symplectic quotient給出的方程是 $F_A = lambda I$ 。另一方面，GIT quotient中stability的條件由向量叢的slope stability給出，而所有不可約slope-stable的向量叢構成的空間可以被complex gauge group自然地作用。於是我們期待的模空間等價就是Yang-Mills方程解的模空間和不可約slope-stable向量叢的模空間的等價。（在高維情況底流形是Kaehler流形，moment map是 $A mapsto Lambda F_A$ ， $Lambda$ 是Lefschetz operator。）

因此，需要解決的問題便是：1). 怎樣從Hermitian-Yang-Mills 方程確定其所定義的全純結構是穩定的；2). 若一個向量叢的全純結構是穩定的，那麼怎樣在上面找到一個Hermitian度量，使得這個度量和全純結構定義的Chern connection滿足HYM方程；3). 這樣在集合層次上的等價有沒有更進一步的幾何上的等價，例如微分同胚；4). 一般而言得到的模空間是非緊的，怎樣從分析和代數幾何的角度去緊化模空間；5). 緊化後的模空間所加的緊化點怎樣從分析和代數幾何兩個角度去理解，並且它們之間的對應應該是怎樣；6). 怎樣利用代數幾何的手段去計算有關模空間的cohomology，而這些拓撲信息能夠怎樣地反應底空間的幾何和拓撲結構。

這是80年代到90年代初的主流問題，應當提及的工作者包括：Narasimhan, Seshadri, Atiyah, Bott, Hitchin, Donaldson, Uhlenbeck, Taubes, Yau, Corlette, Simpson，當然也包括李俊，拓撲方面還要提到Morgan, Friedman, Mrowka和Kronheimer。這是對那個答案的補充。

回到本身的問題：代數幾何對PDE研究有什麼樣的啟發？DUY定理是這樣回答這個問題的：1). 通過無窮維空間上的moment map找出有豐富幾何含義的PDE，即代數幾何為PDE提出了一些有意思而且值得研究的問題；2). 通過GIT quotient的觀察，尋找出相關方程可求解的充分條件。這樣的手法是Atiyah-Hitchin-Donaldson學派的看家本領，例如Donaldson將Kahler流形的scalar curvature表示為了某種moment map，這毫無疑問是Yau-TIan-Donaldson猜想中很重要的觀察。

據說Yau在他的seminar上一直在問自己的學生，代數幾何中新引入的那麼多穩定性所對應的Hermitian-Yang-Mills方程應該是什麼。這一類問題的解答也就回答了題主本來所問的問題。