物理學是怎樣在大量近似的基礎上保證自洽的呢？

01-27

近似不能給出更嚴格程度上的準確
這種不準確的積累會不會導致一些相對嚴重的錯誤呢？

如果說所有的物理理論都是低能有效理論

那麼所有的近似只要是重整化下irrelevant，都是合理的

因為相對更高層的理論都是高度精確的。

狹義、廣義相對論的推導中沒有近似；麥克斯韋方程的導出也沒有近似。（這裡說沒有近似是指推導過程）只有向下，考慮實際現象時，會考慮一些近似。這些誤差即便有積累，也是可以察覺的（因為有基礎理論在哪裡）。

只要不同地方近似的邏輯是一致的，那麼數學會保證你自洽=

謝邀。

近似和自洽本身不矛盾。物理的近似只出現在解決複雜現實問題的時候，比如用得隨心所欲的泰勒一階展和微擾論，而自洽是邏輯嚴密的底層理論所包含的。

況且作為一門實驗科學，和實驗結果的相合度對於理論來說是非常重要的，能通過教科書流傳下來的理論都是久經實驗考驗的，客觀現實保證了它們的自洽性。——要不然，standard model這種「醜陋」的模型才不會流傳甚廣呢2333

物理中的近似說明白一點，就是忽略掉展開的高階項。

有的時候是因為對精度要求不高或者其他因素對結果的影響已經和高階項一個量級，這是應用中常見的情況，這些領域裡都會有相應的誤差分析，有一套相對完整的理論和結論，不存在「不準確的累積」這個說法。

題主所說的好像不是應用方面而是理論建構方面，我分兩種情況說。一種是主動使用近似，一般原因是我們想針對某個不可簡單求解析解的理論說更多的話。在這個時候我們會取一些極限，體積無限大數量無限多等等，然後再來研究。這就相當於對體積或者數量的某種展開的leading term。這樣的近似會簡化問題，使物理圖像清晰，讓我們更容易把握本質。比如最近很火的引力波就是弱場近似後解場方程才得到的結果。

再一個是被動使用近似。量子力學中的可解問題屈指可數，其餘的都只能微擾求解，微擾解也就是級數解。但是和前面所說的那種近似有一點不一樣，微擾級數基本上是發散的。說精確一點，是漸進級數。發散，也就是說不是我們針對高階項，而是如果我們加上任意多高階項，結果反而會偏離物理的結果！樓上說的量子場論正是一個非常典型的例子。不過好在漸進級數雖然不收斂，但是在前幾階仍然是逐步收斂到真實結果的，所以勉強能用，只是從原理上就知道結果不可能是精確的了……這種情況下，不是我們想近似，而是我們還不知道怎麼迴避它。

前面大致說了一些我了解到的近似，物理學中近似很多，可以說沒有近似的物理更像是數學，如何做近似也是最能體現物理修養的地方之一。

首先底層理論是沒有近似的，物理學家也不會滿意一個近似的「大一統」理論。一幢大廈的根基必須是完美的不能有漏洞。

近似一般出現在複雜的問題中。比如一個複雜器件的傳輸特性，很多原子分子構成的系統。其次近似也不是隨便近似的。舉個例子， 1000和1001可以考慮為相互近似，10和11則一般不行。不過有時候100和101就可以考慮為相互近似了。所以有時候展開取到第一項有時候取到第二項，有時候只需要考慮初始的線性作用區域而有時候要考慮到高階作用區域(各種相互作用)，選擇哪一個，思維還是和上面一樣的，比較數量級。

題主說的積累效應原則上來說是可以發生的。但是，嚴謹的科研工作者們是不允許這種情況傳遞給後人的。每當發現舊的理論(不管是不是通過近似得出來的)不符合實際情況時，大家就要修改舊的理論，哪怕還是用某種近似去修改。隨著新的實驗現象的不斷發現，越來越多的舊的理論需要修改或者甚至被拋棄。這也就是科學發展的一大特點。所以，只要是大家嚴謹地做研究，這種積累效應是積累不起來的。

比如凝聚態裡面的mott絕緣體。舊的能帶理論(固體物理裡面那個從近自由電子近似出發的計算過程不就是用了量子力學裡面的一階微擾嗎)不符合實際，後來有人發現要考慮電子之間相互作用才能解釋，而且這個解釋過程依舊是一種近似(平均場)。

至於題主說的"相對嚴重"的錯誤，是指導致大量人類生命財產損失的錯誤嗎？我還不知道。對於科學而言，發生錯誤是正常的。

其實吧，近似看起來很玄幻丟掉了一堆東西只保留簡單容易算的，但是你把實際公式寫出來看看到底有多少影響就明白了。如果學過數值計算就很好解釋，計算機迭代遞推計算一萬步，每一步都存在計算機的系統誤差，但是只要演算法合理，這個誤差就是可控的，不存在蝴蝶效應導致崩盤。物理公式的近似其實要求更低，因為一般近似後迭代次數都是有限的，不會動不動上千上萬。

手機碼字，之後有機會配幾個公式。

建議題主學習一波動力系統。哪怕是一學期的動力系統入門課，也能領略到可怕的KAM理論和近似的有效範圍。

物理學本身是精確的，物理學家從來不會滿足於用近似來構建理論。

所謂"近似"只是在應用時，經常用泰勒一階或二階展開而已，所以也會非常明確，所忽略的小量占結果的量級。比如我在心算時就經常把（1+x）^n 近似成1+nx，在x是比較小的數的時侯。比如x=0.01,那麼誤差在0.0001量級。

當物理學家發現FL=(delta)1/2mv ^2 是 (delta) E= (delta) mc^2的低速近似時，就會慶祝物理學又前進了一步。

手機碼字，費勁。

「如何做近似」本身就是物理的一大課題，尤其是在凝聚態這些學科里，沒有可以求解析解的不平凡的例子。單就相變而言，就有平均場方法和重整化兩種方法，都在不同程度上忽略了物理細節，得到的結果有好有壞，具體的使用上也有各種技巧。當然，如何控制近似誤差也是一個問題，例如：量子場論微擾展開到幾階有效？ - 理論物理

以重整化的觀點來看，所有理論都是高能理論在低能下的演生。也就是說，沒有理論是精確的。高票回答中的「相對更高層的理論都是高度精確的「簡直是扯淡，沒有證據表明高能理論的誤差會在低能下積累，大多數情況下是相反的，不然量子引力早就搞出來了不是？

「高階無窮小」

仔細看你就會發現，每次近似都很巧妙.

題主說的近似是

電偶極子距離那種近似？

還是平截面假定那種近似呢？

只是好奇

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不學物理，對物理沒有理解XD

稍微說一點對誤差控制的理解XD

除了理論本身是解析無近似的之外，

具體往下近似的時候都要參照解析解的結果。

【其實這個我是存疑的】

而且一樣是近似還有很多方法。

比如攝動法解方程的時候，

就盡量對小量（小參數）做泰勒展開以控制誤差，

在對付ODE或者PDE的時候盡量得到精確地解，

一般叫解析型近似解XD(幾項就收斂的級數解)。

其實我覺得這個問題當是存在的。

如果解決一個問題的時候近似耦合太多次的話，

誤差也許會大增。

但是由於其中任意一個誤差都應該是被合適的控制的，

【通過數值分析方法，或者其他方法】

所以我覺得問題並不會太大。

物理學家們和數學家們也儘力去解決了。

比如之前說的攝動法之機智，真是嚇壞本寶寶了。

還有數值分析裡面一系列調參大法，還衍生出不少學科呢XD

除此以外還有之前有人說的動力系統的一系列方法，

比如吹b的時候經常說的構建廣義彈性勢能（我這麼叫的）

李雅普洛夫定理。不過這是判斷斂散的，和誤差控制的關係不太直接。

接著說一下自洽。

我覺得自洽還是要從底層說，

具體使用時數值上的出入和自洽與否關係不大。

當然推導中就帶著大量近似的，

應該叫工程學。

其實還有一堆稀奇古怪的邏輯，感覺要不是為了湊答案，邏輯這門學問都不會有。總之，好像就是為了掩蓋都是蒙出來的這個事實。我們管這一套專門的技術叫純粹理性，跟實踐理性不同。看看就好。本質上還是讓大家安心，世界不是一團糟，我們還是有辦法的呀。

提這個問題的人一定不懂統計學。

沒有近似的精確推導=物理學

用了一點點近似、小心把握近似的影響=應用物理學

用很多近似、原理是對的就好=工程學

建個模結果能對上就好了，管他什麼近似不近似的=工程實踐

這個問題，非理論物理學家中的大師，不能給出很深刻的見解，但是如果是一些有過建立物理理論的人，也能給出一些體會看法，但是我想知乎雖然不缺少牛人，能回答這個問題的可能沒有。當然我更不行。

那麼我為什麼這麼說，首先，這個問題直指物理理論的建立過程，即使一些哲學家懂的不少科學哲學，卻也只能給出一些大而化之的看法，因為沒有建立物理理論的經歷，並不能回答這個問題。這個問題更具體一些。

然後，這個問題雖然提到「大量近似」，看問題的提法並不是指物理是一門實驗科學這一事實，重點在「自恰」。物理學中有很多理論，物理學的自恰自然是物理理論的自恰。而理論的自恰，是在建立理論時很重要的考慮。

那麼理論的自恰是如何保證的，只有親身去建立理論的人感觸更深刻，同樣非達到融會貫通的境界不能很好的回答理論的自恰是如何保證的，而大師的境界自然是有好幾層樓那麼高，不不僅對物理有著很深的理解，對於其中的哲學也是有很深刻的見解，如此就達到了很好解答這個問題的條件。

但是這個問題也並沒有確定答案。我覺得大家看到這個問題的首要意義，並不是要了解其他人的答案，而是將這個放到心中，時時思考，以達到對物理的反思。

……

前面談了很多我對這個問題提法及這個問題本身的見解。我自然暫時也沒有建立建立拓展理論的經驗，但是畢竟學習了那麼多年，還是嘗試一下。下面，是我對這個問題的嘗試解答，並不完善，也不敢奢求完善。

物理學中有著很多近似。自然界現象的描述，是由很多物理量來衡量的，如力學中速度、力、加速度、動能等，如熱學中溫度、熵等，如電磁學中電場強度、磁場強度、標勢矢勢等。

而這些量的產生利用，一部分是以人的感知感覺而提煉而來，長短、快慢、冷熱等，產生距離位移、速度和溫度的概念，一部分人類無法直接感知而是從理論的建立來考慮，為了達到簡化理論和其他目的而提出，如標勢、矢勢，電場強度，當然一個典型例子是熱力學中熵，起初從熱力學角度是無法理解這個量的物理意義的，後來統計力學的建立，這個量的物理意義才能理解，這是玻爾茲曼做到的。

在這些量的提出過程中，第一類的物理量就是或多或少伴隨著近似的，如距離，理論中總是假設為物體為質點來考慮的。還有，人類處於自然界宏觀量級中，測量宏觀物理量總是最容易的，也是最直觀的，而這就是量子力學的測量最終還是由宏觀物理量相對應的算符產生的作用來衡量的道理。

…………

等著看電影的一個小時中，有充足的時間因此寫了很多，很啰嗦，因為我想趁著這個機會梳理了一下自己對物理的認識。寫到這裡必然要牽扯到具體的理論，物理學中理論不少，因此想法也很多，不好梳理，因此先到這裡。

未完待續…………