龜兔賽跑問題。關於無限分割？

01-27

龜兔賽跑問題。假設烏龜在兔子前面不遠處，兔子要追上烏龜首先得跨越他們之間的中點，記為A點，要跨越A點一定要跨越兔子和A的中點記為B點，要跨越B點……以此類推，無限分割下去，則兔子需要跨越無數個中點，故兔子追不上烏龜。
睡前一問歡迎反駁～

$1+{1over 2} + {1over 4}+dots=2$

把兔子按照你的分割行動每一步所用的時間組成一個無窮數列

這個無窮數列的和（或者說和的極限）是一個常數，記作T

在時間T內兔子確實追不上烏龜但是T之後就追上了而這個T就是兔子追上烏龜用的時間

其實自行度娘一下芝諾的兩個悖論就知道了，具體其實很難解釋，不是研究這方面的一時半會是理解不了的。

用什麼無窮級數。

我就問你，憑什麼無窮個東西的和是無窮大？

limΣAn=+∞?

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這周的主題是「拓撲眼光看世界」。最後舉了「龜兔賽跑」作為拓撲動力系統的例子。

假設

一隻兔子和一隻烏龜，它們都沿著實數軸正方向蹦/爬直線，而且兔子的速度是烏龜速度的10倍。

實數軸上有一個點列，{ X(0)=0, X(1)=10, X(2)=11, X(3)=11.1,.....} (哦上帝，請原諒這個表達，領會精神就好) 其中 $X_{n}=100(-1+ sum_{k=0}^{n}{frac{1}{10^{k} } } ) (nin N)$ 這裡表達X(i)和 $X_{i}$ 相同的意思，編輯器太麻煩了。。。實際上，這個集合（滿足了一些公理）是實數軸上的一個拓撲子空間。

兔子起跑線在X(0)，烏龜起跑線在X(1)。

可以預見兔子蹦到X(1)時，烏龜爬到了X(2)…兔子蹦到X(i)時，烏龜爬到了X(i+1)…而X(i)&

開始跑了

Zeno*(真正的芝諾絕對沒有說過以下的話，所以這裡說話的是Zeno*，XD)在旁邊給兔子和烏龜計時，但是他的計時系統和我們常用的不大一樣。

他說：兔子從X(0)蹦到X(1)，烏龜從X(1)爬到X(2)，算做一個時間單位；

兔子從X(1)蹦到X(2)，烏龜從X(2)爬到X(3)，算做一個時間單位；

……

兔子從X(i)蹦到X(i+1)，烏龜從X(i+1)爬到X(i+2)，算做一個時間單位；

……

所以兔子得用無限個時間單位才能追上龜。所以它追不上，唉。（莫名失落X2）

-----------（以上還屬於個人對老師PPT的超級簡化版，以下屬於個人理解了，有錯誤的地方請告訴我，請理解一下剛剛開始學數學的孩子總會有各種錯誤的啦，趕緊改正以後不要長歪了就好嘛）----------

在我們常用的計時系統下，兔追上烏龜（X(1)-X(0)合理地小）是顯而易見的事情；但是Zeno*計時系統中，時間以兔子追上烏龜的一刻為邊界，一旦越過這個點，系統就崩潰了無法描述時間。

所以在Zeno*的計時系統下，兔子永遠無法追上龜。

我們常用的計時系統事實上是 全體（非負）實數在通常的加法下，配備由絕對值誘導的拓撲所構成的拓撲交換（幺半）群

而Zeno*的計時系統則是 全體（非負）整數在通常加法下，配以離散拓撲所構成的拓撲交換（幺半）群 （此處存疑，下周問了老師再來修改---update---確實如此）

計時系統不同，並沒有對錯之分。

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「我們真的有公正的理由認定芝諾的計時方式不如我們的計時方式嗎？其實我們沒有！假如龜與兔在一開始起跑時，它們的距離是如此遙遠，以至於兔要追上龜是它終其一生所不可能的話，那麼芝諾對上述系統的解釋難道不比我們固有的成見更有道理嗎？」 -------------萌萌噠杜神

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完畢。

祝學習愉快！

之所以你覺得無法追上，是因為你覺得不能在有限的時間內跨越無數個中點，在這個邏輯中，你引入了一種新的時間度量，假設每次到達中點，這種新的時間度量——芝諾時增加1，那麼即使芝諾時趨近於無窮，也無法度量追上以後的時間，所以芝諾時有它的局限性，也無法在芝諾時中趕上。但是在正常的時間中，顯然是可以趕上的。

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順便，反對所有用時空具有不可分割的最小單元拿來說事的回答，這個是一個數學問題，而不是物理問題，本質上是因為數學，因為即使時空沒有最小單元，也能追上。

最小單元可以用來說明能追得上，但是不是本質原因

因為你認為，無窮個數字相加的和一定是無窮大的，事實上並非如此。

無窮級數收斂

題主你不是第一個也不是最後一個，請參考阿基里斯悖論_百度百科

我們把它看做一個很簡單的追擊問題，會得出x時，就能追上，而題目的意思是，把這個x時分為一半，再分一半，日取其半，萬世不竭。我不知道這麼做是要幹嘛

「芝諾悖論」（之一），哲學家們曾經從各種角度多方面地闡述過這個命題。這個命題令人困擾的地方，就在於它採用了一種無限分割空間的辦法，使得我們無法跳過這個無限去談問題。雖然從數學上，我們知道無限次相加可以限制在有限的值裡面，但是數學方法的前提已經預設了問題是「可以解決」的，從本質上來說，它只能告訴我們「怎麼做」，而不能告訴我們「能不能做到」。但是，自從量子革命以來，學者們越來越多地認識到，空間不一定能夠這樣無限分割下去。量子效應使得空間和時間的連續性喪失了，芝諾所連續無限次分割的假設並不能夠總是成立。這樣一來，芝諾悖論便不攻自破了。量子論告訴我們，「無限分割」的概念是一種數學上的理想，而不可能在現實中實現。一切都是不連續的，連續性的美好藍圖，也許不過是我們的一種想像。

以此類推，無限分割下去，則兔子需要跨越無數個中點

這句話沒錯，但是「無限分割下去」並不等於可以延伸至無限遠，「無限分割下去」最終會越來越接近一個點，而這個點正是兔子追上烏龜的那個點。

所以綜上所述可以總結為一句話：在兔子追上烏龜之前，兔子永遠追不上烏龜。

這樣解釋是不是好理解一些。

顯然，題主是想說阿基里斯與龜賽跑，奈何不記得那個冗長的名字。

如果只是數學問題，放到今天已經沒有太多的意思。

只欣賞@YYZZ的答案。

這個問題可以用無窮級數求和來算

追到之前確實要跨越中點，直到某個極限中點距烏龜的距離約為零時兔子就追上了。話說好好的一個小學數學問題為什麼要搞那麼複雜

因為無法無限分割，總有最小單位的。

兔子走一步就跨過了無數個中間，因為它跨過了這一步的中間的中間的中間……。樓主明顯進入思維陷阱了，分割也要求和的。

最早看到這個問題好像是在少年文藝還是兒童文學上的一篇文章

樓主知道什麼叫極限嗎？什麼叫無窮數列求和嗎？

極限的意思就是無窮趨近某個數值...

無窮趨近就相當於到達.

就如人所說達到或超過時間T，就能追到.