「動力系統」與「微分方程」的關係是什麼？

01-26

如題，如何從字面上理解「動力系統」？它與微分方程的關係是什麼？

我來拋磚+強答了…………

1，

狀態空間：集合X

其上一一倒上映射，T:X→X

離散動力系統：(T,X)

軌道：集合Orb(X,T)=｛T^n(x)｝

T^n為T的複合映射，x是X中的元素稱為狀態

2，

狀態空間：拓撲空間X

離散動力系統：(X,T)，T 為同胚映射

連續動力系統：單參數拓撲群，y：X×R→X

(固定R，映射y_t：X→X 是同胚映射)

3，

狀態空間：微分流形X

離散動力系統：(X,T)，T為微分同胚。

連續動力系統：單參數Lie群，y：X×R→X

(固定R，映射y_t：X→X為微分同胚)

4，舉個簡單的例子:

以經典力學為例，「3」中的狀態空間是一個辛流形~~~餘切叢，在物理學中我們叫它相空間。

H為哈密頓量(餘切叢上函數)，一點的dH 即為該點餘切空間中元素。餘切叢的辛結構誘導出每點切空間和餘切空間之間的同構映射。

利用這個同構映射我們把每點的dH「拉」到切空間里去，就得到了辛流形上的哈密度矢量場。由其生成的單參數微分同胚群即為相流，也就是我們前面說的連續動力系統。相流保持辛結構不變，相應的我們可以得到力學中的劉維爾定理。

給定哈密頓函數，生成哈密頓矢量場，有此再生成單參數微分同胚群(連續動力系統)，由這個群可以得到X中的一條軌道。也就是說給一個哈密頓函數，有一條軌道與其對應。

我們要描述狀態空間X中狀態的演化，也就是要在給定的哈密頓函數下尋找由其「生成」的軌道。

這等價與求解一個微分方程組，在力學中它就是哈密頓方程。

拋磚拋完了，睡午覺去了(-_-) zzz……

我試著主要回答下第一個問題。

「動力系統」要按「dynamical system」解，我覺得譯成「動態系統」更為準確。可惜即使是中文的「動態」，也不太有英文「dynamics」的「系統的狀態一步一步隨時間變化的情況」的那層意思。在經濟學中就有statics、 comparative statics、dynamics等model一個系統的角度。至於和微分方程的聯繫，一個微分方程組如果有時間為自變數，那不就可以model一個現實中的object的「dynamics」了嘛。

一個動力系統可以是離散的，也可以是連續的。如果它是連續的，那麼它可以用一個帶時間變數t的微分方程表示。

個人理解：

動力系統是隨著時間發生變化的系統。系統一詞在各種中英文字典中解釋略有不同，但大意差不多，指有一定關聯的一些事物的整體。在這裡應該指按一定規則在不同狀態間轉換的一種東西。經過數學的抽象，「事物的整體」指的是所有狀態的集合，而「關聯」就是狀態之間的關係和在不同狀態間轉換的規則。比如一個函數f(t)，t是時間，f(t)的值就是狀態（在現實中比如溫度、高度、濃度、距離、價格等等），如果f(t)是實數的話狀態間的關係就是實數空間上的關係（比如大小（序關係）、距離等），f就是規則。又比如一個數列a_n，n是時間，a_n的值是狀態，而類似a_(n＋1)＝a_n＋1這樣的就是規則。還比如最簡單的一個動力系統就是十字路口的紅綠燈：紅黃綠三種狀態，按確定規則變換，甚至還有周期性。你可以把這個空間想像成一個舞台，而規則就是正在上演的劇本，是讓系統發生變化的「動力」（其實我也覺得應該翻譯成動態系統）。

在數學上，我們通常把所有狀態的集合抽象的取成一個有一定數學結構的空間，比如實數空間、歐式空間、線性空間、拓撲空間、度量空間、測度空間等等。也可能是數學上不太好描述的比如樹狀結構（dendrite）或元胞自動機等等。這裡要注意一個事情，很多時候，空間本身的結構就限制了系統里可能發生的事情。比如紅綠燈的例子里不管變換規則如何，只要每種燈之後亮的燈是確定的，那麼最終一定會呈周期性變化。高級的例子比如二維球面上不存在連續且處處不為零的切向量場。

當然，最重要的還是變化的規則。首先，規則是確定的。一般來說，規則唯一確定了從一種狀態出發的所有後續狀態（有時甚至包括之前的所有狀態）。知道了當前狀態和規則，也就知道了所有後續狀態。即便是「隨機動力系統」，也通常可以把「狀態空間上的概率分布」看成一個唯一確定的狀態。其次，規則可以由各種不同的方式給出。比如前面提到的函數（時間序列）、數列的遞推（差分方程）、空間上的映射（以x為當前狀態，f(x)為其後續狀態）、微分方程、向量場（實際上決定了一個微分方程）、甚至就是某種規定（比如綠變黃黃變紅紅變綠）。

動力系統還有一個不能忽視的是「時間」。通常時間可以是向後流逝的，但分連續和離散，比如前面例子里f(t)的t可以是非負實數，而a_n中的n是非負整數。又比如微分方程的定義的系統時間是連續的，映射定義的系統時間就是離散的。而連續時間和離散時間的系統也可能互相轉化，比如t的定義域是非負實數，但我們可以只看f(0)、f(1)、f(2)等等就得到了一個離散時間的系統；而離散時間的系統也可以通過suspension等辦法變成一個連續時間的系統。在很多時候，時間也是可以回溯的，即考慮t可取所有實數或n可取所有整數。但回溯的時候當前狀態的前置狀態未必是唯一的，也未必每個狀態都有前置狀態（比如由一個不可逆映射定義的系統）。更複雜的情況則是「時間」未必要是線性的，可能是一個更一般的群或半群（實數和整數是群，非負實數和非負整數是半群）。

最後說說動力系統和微分方程的關係。從上面隱約可以看出，動力系統的概念可以很寬泛。在我看來，微分方程可以看成是最廣義的動力系統的一個分支。而相對狹義的動力系統則與微分方程有一定的交叉。微分方程我懂的不太多，感覺核心問題主要有解的存在性唯一性和求解或近似解，側重於定量的研究；而動力系統更多考察系統的各種性質（比如周期性、複雜性（如熵和混沌）、穩定性等等），側重於定性的研究。動力系統中有一個分支就叫微分方程的定性理論。

先說第一個問題，既然是要從字面意思理解「動力系統」，那麼我們便把這個詞拆分一下。先談一下「系統」，這東西直白地說，我認為就是「你所要研究的包含一個或多個子對象的對象」，根據研究視角的不同，一個「系統」也可以成為另一個「系統」的「子對象」。

再說「動力系統」，它的英文是「dynamical system」，其實已有人說到了，這裡其實理解成「動態」更為準確。再具體地說的話，就是一個「每個子對象的某些性質之間的關係會隨著時間互相影響，變化」的「系統」。其實也就是與「靜態」相對應。這裡的「某些性質」具體是什麼性質由你所研究的問題決定，只是抽象到dynamical system的研究中時，所有你要研究子對象的性質所代表的參量都可以形成一個空間，再加上時間這一特殊的自變數。

這時，這個動態過程便可以抽象表示為粒子在這個特殊的空間中的運動過程。如果這個過程我們可以以連續的思維來考慮，那麼，類比於牛頓的經典力學，描述粒子在空間中運動一個很好的方式便是微分方程了。

這裡的微分方程我認為可以理解為是一種representation。舉個簡單的例子，對於空間中的一個向量，我們總可以設定一種變換規則（transformation）使擁有我們想要的性質（方向與大小）。這樣的一種變換，通常都是由一個矩陣來表示的。然而，對於同樣的一個變換，在vector space（向量空間）的basis（基）不同的情況下（可以理解為坐標系不同），矩陣的樣子是不一樣的。而矩陣，就是這個transformation的representation，這個representation只有在basis確定的前提下才能被確定，basis不同則可以千變萬化。然而，不論basis與矩陣的樣式如何變，設定的transformation永遠是那個transformation，我們甚至可以不用矩陣而用其它東西來表示這個變換，只要它能讓我們實施這個變換且不影響結果。

同樣，微分方程之於動力系統就如同矩陣之於變換。當我們定義的space不同時，微分方程也會隨之變化，我們只是選擇方便的representation來研究一個問題，就像在linear algebra中我們常常默認使用orthonormal basis一樣。

再稍微說大一些，以下基本屬於我自己的YY了，我感覺數學之於我們研究的這個世界也是一個representation。我們尋找並提取一些在很多地方符合的基本規律，抽象出來，形成公理，而後進行演繹，推理，得到一條條最初或許看似無用，卻總能在某些意想不到的地方發揮巨大作用的定理。因為它們是我們選擇的對世界這個系統的representation。

推薦 z.gajic那本動態線性系統分析，很有意思，從物理的能量釋放角度來解釋微分方程