為什麼貨幣乘數是準備金率的倒數？數學推倒過程是什麼？

一開始是1000，準備金是百分之十，然後就是900，810，729。那麼是1000（1+0.1）^0+1000（1+0.1）^1……+1000（1+0.1）^n=1000*（1/0.1）(⊙_⊙?)

把0.1換成x，兩邊同時除以1000，用西格瑪的方式寫一下就是:Σn=0到無窮大（1+x）^n=1/x，最後這一步怎麼來的呢(⊙_⊙?)

來源：知乎

以一個例子說明吧。

假設，只有一個銀行，為了方便，我們假設銀行沒有資本金（或者假設銀行有N元資本金，用作了租房子，總之這部分忽略不計了）。

初始情況：有個客戶來存錢了，存了100元在銀行。

於是，銀行的資產負債表，如下圖所示。

好了，銀行有了100元，央行規定，必須留下準備金10%的準備金，這準備金是用來應對儲戶（債權人）可能隨時遇到突發情況，會需要來銀行提取現金的情況。此時，資產負債表如下圖。

現在銀行有現金90元，是可以用的。銀行當然也非常需要把這90元放貸出去。這樣銀行才有飯吃，錢趴在銀行上，銀行就喝西北風了。

於是，有個企業A（該企業的公眾號：yuanmu8）需要錢，正好需要90元，沒問題，全放貸給他吧。

當前，銀行的資產負債表，稍有變化，不過變化不大，只是現金變為了債權（為了方便我寫成了貸款，這樣好理解哈）。

好了，企業A拿到現金，發展不錯，於是把錢全花了，實際上主要應該還是用於支付工資、購買固定資產等等等吧。為了方便，我們假設，企業A把90元錢支付給了員工A。員工A拿到這麼多錢當然很美，於是找到銀行，又把錢存到了銀行。

同樣銀行收到存款，必須留出來10%=90*10%=9元，作為準備金。

餘下了=90-9=81元現金。

此時，銀行的資產負債表為：

銀行，還是一樣的銀行，不是慈善機構，更需要吃飯、盈利，因此，必須把這現金81元放貸出去，才能不喝西北風，於是找到企業B，全部放貸給了企業B，此時，銀行的資產負債表上，現金變為了貸款。具體為：

後續發展情況是類似的，企業B當然盈利也不錯，把貸款的81元錢付給了員工B，員工B又找到銀行，把錢存在了銀行。

此時，銀行的資產負債表如圖：

當然，銀行，有錢了，有錢了，還要放貸，這次放貸給企業C吧，於是資產負債表上，現金變成了貸款（債權）：

好了，企業C當然也是優質企業，僱人的過程中當然也要支付工資，發工資72.9元給了員工C，員工C把錢又存到了銀行。

此時銀行的資產負債表如圖所示：

當然，道理還是一樣的，銀行不能讓錢留在賬戶上。留下10%的準備金，其餘的全部需要放貸出去，此時的資產負債表為：

好了，我們看明白了，這個情況是周而復始的。

注意，右側是大家手上有的錢。因為這個錢是每個人都認為自己手裡面有的錢。而實際上，現在市面上一共就有100元的現金。是這樣吧，但是我們看在當前10%準備金的控制下，銀行讓大家的總財富變為多少呢？

算算看：

100+100*0.9+100*0.9*0.9+…100*0.9^n

=100*（1+0.9+0.9*0.9+0.9*0.9*0.9+……..+0.9^n）

我數學不好，不會算，我們乾脆百度一下，這個是多少吧

過程不重要，我們需要知道的是結論，經過無數次的放貸之後，右側的總額，也就是大家手裡面的錢應該是=1/(1-0.9)=10

這個我們記住好了，叫做「貨幣乘數」，也就是準備金率的倒數。

因此，如果準備金率是10%的話，那麼貨幣乘數就是10，則100元可以經過銀行的放貸變為市場上的1000元。

如果，準備金率是5%，則貨幣乘數是20，則100元可以通過銀行放貸變為市場上的2000元。

所以，央行通過控制準備金率的微調，就能實現對市場上錢多少的控制。

如果想讓市場上錢變多了，就要降低準備金率；

如果想讓市場上錢變少了，就要提高準備金率。

我們看看中國近期一次準備金率是怎樣調整的，以及調整的目的是什麼。

有了上述知識，現在看新聞，就清楚多了。

央行會不斷地根據市場情況，進行準備金率調整，一般來說，調整是非常謹慎的。即使這樣，幅度調整也在7%到21%之間進行了波動。可以看到，這會導致貨幣乘數在5到14之間波動。最近十年幾乎在10%到20%之間波動，貨幣乘數是5到10倍之間。

前段時間很多人討論日本的負利率，最近還有人說討論，來，我們看個新聞。

我們知道，其實負利率是針對準備金說的。銀行存在央行的準備金越多，會導致名義準備金率越高，進而會導致貨幣乘數縮小，市場上錢少了。所以，要用負利率，讓銀行把錢放貸出去，刺激貨幣增長。

注意，表面上看，貨幣乘數造成了很大的通脹。實際上，凡是存入銀行的錢，都是有他的實際價值擔保的。例如，在上述例子中，產生的錢，都是工資，都是創造價值後，員工從企業得到的。所以，我們可以簡單理解，存入銀行的錢，都是由其創造的價值擔保的。這個不是製造通脹的原因。實際上，在一定程度上，還會造成通貨緊縮。因為，創造的價值，通常超過存入銀行的貨幣價值。

前幾天關於通貨膨脹的文章，有人留言，提到貨幣乘數。他也提到了貨幣乘數效應，但是通貨膨脹和貨幣乘數不能簡單地畫上等號。

當然，關於貨幣乘數是有很多假設的。我們現在只是在理想狀態下的假設，實際情況要更複雜。

文章太長，大家就是去讀的興趣了，先寫這麼多了。

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