怎樣求下圖中y關於x的表達式呢？

01-26

大家好！這個不是作業題。家裡老人退休後在看高中數學，看到數列求和公式以後想，只給了y=xxxxx，怎麼沒有x=yyyyy的公式。所以一直在算但算不出來。家裡人幫忙算因為大家數學不咋地也算不出來。也不清楚能不能算出來，希望大家可以幫忙（就是最後結果是要x=yyyy的表達形式，而不是只把x和y單純的互換位置）。非常謝謝！

大部分函數的原函數都不能寫成初等形式。當n不超過4時可以寫成根式形式。

當n較大時，你需要計算這個多項式的分裂域的Galois群。如果是不可解群，那麼不存在根式表達。可以參考近世代數書。

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對於具體的 $n$ ,我們可以用如下辦法嘗試確定Galois群。

設 $f(x,y)=g(y)-x$ , 其中 $g(y)in mathbb{Z}[y]$ 為首一 $n$ 次不可約多項式. 令 $A=mathbb{Q}[x],B=A$ 添加 $g(y)=x$ 的根, $K=mathrm{Frac} A ,L=mathrm{Frac} B$ , $G=mathrm{Gal}(L/K)hookrightarrow S_n$ . 則 $A,B$ 是 Dedekind 環.

令 $mathfrak{p}=(x-x_0),mathfrak{P}=(y-y_0)$ 為 $A,B$ 的素理想, 其中 $f(x_0,y_0)=0$ . 則 $mathfrak{P}/mathfrak{p}$ 的分解群為 $D_{mathfrak{P}/mathfrak{p}}={sigmain Gmid sigmamathfrak{P}=mathfrak{P}}$ ，它有自然的商群 $mathrm{Gal}(mathbb{Q}(y_0)/mathbb{Q}(x_0))$ .

因此多項式 $g(y)-x_0=0$ 的分解類型必然出現在 $Ghookrightarrow S_n$ 的置換型中.

例如 $n=5$ ,

$g(y)-1$ 不可約，故有 $5^1$ 型置換;

$g(y)-55=(y^2-y+5)(y^3+2y^2-2y-11)$ ,故有 $2^13^1$ 型置換，從而有對換，而對換和 $5^1$ 型置換能生成 $S_5$ ，則 Galois群 $G=S_5$ 不可解。

但是對於一般的 $n$ ,似乎很難用這種辦法找到充分多的型使得它們能生成 $S_n$ .

MR0302623(46 #1767)

Hering, Hermann

über Koeffizientenbeschr?nkungen affektloser Gleichungen. (German)

Math. Ann.195 (1972), 121–136.

這篇文獻可以推出 $y^n+a_{n-1}y^{n-1}+cdots+xy^ u+cdots+a_1y+a_0,a_0 eq 0$

的Galois群是 $S_n$ . 不過如果x出現在常數項他沒有研究.

利用他的方法可能能得到如下結論：

設 $g(y) eq y^n-c$ 為 $nge 5$ 次有理係數多項式（或復係數），則 $g(y)-x$ Galois 群為 $S_n$ ，從而根式不可解.

那麼你問的問題就變成了它的一個推論。

如果真的感興趣可以先學習一下近世代數(抽象代數)，然後學習Galois理論，再學一點解析數論，再看看這個人的文章或許能證明出來。

還記得當初我怎麼解五次方程的來著......

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首先是解的存在性:

奇數一個解,偶數無解一個或者兩個...

劃橫線法...高中應該都會我不教了

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然後解出所有解...當然初等解是沒有的了...超幾何函數解我還是寫出來的.

$[y + {y^2} + cdots + {y^n} = x]$

左邊等比數列求和

$[frac{{yleft( {{y^n} - 1} ight)}}{{y - 1}} = x]$

乘過去移項得

$[{y^{n + 1}} - (1 + x)y - x = 0]$

次數多了1,說明多了個增根,這個增根是 $y=1$

然後要劃歸為布林傑拉德正規式.

$[egin{gathered} {x^n} + px + q{mkern 1mu} = 0 Rightarrow hfill \ x = sqrt[{n - 1}]{{ - frac{p}{n}}}{mkern 1mu} operatorname{BR} left( { - frac{1}{{n - 1}}{{left( { - frac{n}{p}} ight)}^{frac{n}{{n - 1}}}}q} ight) hfill \ end{gathered} ]$

布林傑拉德函數 $BR(t)$ 的表達式我上次推導過的...就是: $[egin{aligned} x_{n}=e^{-{frac {2npi { m {i}}}{N-1}}}-{frac {t}{(N-1)^{2}}}{sqrt {frac {N}{2pi (N-1)}}}sum _{q=0}^{N-2}psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{egin{bmatrix}{frac {qN+N-1}{N(N-1)}},ldots ,{frac {q+N-1}{N-1}},1;\[8pt]{frac {q+2}{N-1}},ldots ,{frac {q+N}{N-1}},{frac {q+N-1}{N-1}};\[8pt]left({frac {te^{frac {2npi { m {i}}}{N-1}}}{N-1}} ight)^{N-1}N^{N}end{bmatrix}},quad n=1,2,3,dots ,N-1\ psi _{n}(q)=left({frac {e^{frac {2npi { m {i}}}{N-1}}t}{N-1}} ight)^{q}N^{frac {qN}{N-1}}{frac {prod _{k=0}^{N-1}Gamma left({frac {q}{N-1}}+{frac {1+k}{N}} ight)}{Gamma left({frac {q}{N-1}}+1 ight)prod _{k=0}^{N-2}Gamma left({frac {q+k+2}{N-1}} ight)}}=left({frac {te^{frac {2npi { m {i}}}{N-1}}}{N-1}} ight)^{q}N^{frac {qN}{N-1}}prod _{k=2}^{N}{frac {Gamma left({frac {q}{N-1}}+{frac {k-1}{N}} ight)}{Gamma left({frac {q+k}{N-1}} ight)}}\ end{aligned} ]$

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我懷疑能化簡...讓我嘗試一會兒...

牛頓法強行求

數學界已證明5次以上方程沒有通解

所以你那個式子里只有當最多存在x^4時，才能直接寫出表達式

最多是x^2時的公式在初中課本里

3和4的公式涉及複數，網上也很容易查到