偏微分方程解的存在唯一性？

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常微分方程我們說滿足李譜希斯條件，就一定有解的存在唯一。
在偏微分方程中是沒有類似的原理嗎，又是因為什麼原因，無法在偏微分方程中推廣存在唯一性定理

謝邀，有的。因為有些偏微分方程可以化成無限維的常微分方程／運算元方程。然後把方程問題變成一個映射的不動點問題，然後如果你有Lipstchitz條件，你可以使用壓縮印象原理，你從而得到唯一性。

比如

$partial_t u-Delta u= f(t,u)$

在恰當的邊界條件下可以轉化成解下面的積分方程， $T(t): X o X$ 是運算元半群，而 $X$ 是和原偏微分方程相關的一個Banach空間（一般是某個sobolev空間），也就是說把一個和時間相關的函數，看成是從時間映射到某個抽象空間的抽象函數。然後，原問題可以轉化為

$u(t)=T(t)u_0+int_0^t T(t-s)f(s,u(s))ds$ ,

其中 $f$ 不再是簡單看成一個歐氏空間中的函數，它本身還引導了一個無限維空間 $X$ 到自身的函數。這類東西叫 Nemytscki Operator。然後，如果這個函數 $f$ 滿足Lipstchitz條件，那麼我們可以得到局部的存在唯一性。證明思路本質上是「不動點」。

還有一種典型的問題是這樣的

$-Delta u=f(x,u)$ .

這個問題可以轉化成 $u=F(u)=(-Delta)^{-1}circ f(t,u)$ 的不動點問題，如果你同樣有Lipstchitz條件，那麼也可以得到唯一性。說白了，很多方程上的Lipstchitz條件就是為了能用壓縮映象原理（Banach不動點），雖然你也可以用schauder不動點，但是這個不動點有個問題：只有存在性，沒有唯一性。

和常微分方程不同，偏微分方程的「結果」往往受限於方程本身的分類，橢圓／拋物／雙曲各有各的不同，所以很多思路是沒有共通性的。Lipstchitz條件是一個限制性很強的條件。一個比較常用的條件是從強空間到弱空間的Lipstchitz條件，比如

$|f(u_1)-f(u_2)|_Xlesssim |A^alpha(u_1-u_2)|_X$

偏微分方程很多時候存在性和唯一性分別用不同的方法考慮，本質上就是因為偏微分方程的複雜度比常微分高多了。也就是說，我們首先用方法A證明解是存在的，然後用方法B證明這個空間中的解是唯一的。比較原理、對偶方法和能量估計都是做唯一性的思路。

謝邀。

當我們討論常微分方程解的存在唯一性的時候，我們討論的是這種形式的方程： $frac{dvec{x}}{dt}=vec{f}(vec{x},t)$ 。這種形式的ODE並沒有概括所有的ODE，而是「導數可解出、導數與函數可分離」的ODE。

而PDE的情況更加複雜，哪怕最簡單的PDE，比如三大二階線性方程，你也沒法把所有導數都顯式解出來，因為它本來就有關於不同變數的偏導數，而ODE實質上只有一種導數：對時間變數t的導數。ODE可以看成一維的動力系統，而PDE實際上是「無窮維的動力系統」——這個觀點是本科一個做動力系統的老師跟我們說的，具體怎麼理解我也忘了。

不過很多情況下PDE的小範圍存在唯一性還是可以保證的，比如很多含時演化型PDE在短時間內的存在性我們是可以建立的。困難的事情在於長期演化規律——它會不會在有限時間內blow up？如果會的話，奇點是什麼樣子的？等等。其實ODE的存在唯一性也僅僅是保證了局部而不是整體的解的存在唯一，不過對ODE的解的奇性做分析應該還是比PDE容易很多的，畢竟它只是一元函數，只要考慮一個方向嘛。

即便是只考慮線性方程的case，常微分方程可以寫成

frac{du}{dt} = Au

這個A是一個連續線性運算元(在某個函數空間--一般是Banach空間).而即便是線性的發展PDE,寫成上述這種形式,這個A都一般地是一個無界線性運算元(無限維空間中的確存在線性但是不連續或者說無界的映射,這與有限維空間不同).比如熱傳導方程

frac{du}{dt} - Delta u = 0

(當然Laplace運算元性質很好這個方程在很多情況下有一個連續半群解)這種右端線性運算元是否有界構成了ODE和PDE的某種本質區別.以ODE逼近PDE的Galerkin方法就是用一系列的有界運算元A_n去逼近一個無界線性運算元A,從而實現對PDE的求解(數值解或者理論上證明解的存在).