一個沒有「哥德爾不完全性定理」的世界是什麼樣的？

01-27

4這樣的世界，在數學裡其實可以說是有的，而且長期陪伴在你身邊你確「視而不見」而已。（笑笑）

好吧，言歸正傳。這個世界就是歐幾里得平面幾何世界，也就是你初中學習的平面幾何那些東西。

即便歐幾里得的《幾何原本》非常偉大，但由於歐幾里得所處時代的局限性，他給出的幾條公理和公設按現代的觀點也是不太嚴謹的。而且，在《幾何原本》中，也在不經意間使用了公理之外的理由——比如第一個定理，直接說了再一個圓上取一點做另外一個圓，則兩圓則相交。相交理由沒說明是出自哪一條公理。另外，也經常使用這樣的表表述「在某某直線的同側取兩點」，而能取到的理由是那條公理，也沒表述。他們當成顯然的「事實」。然而，按現代公理化的觀點看，只要不是基本概念和公理，都需要做解釋。

而後來的公理化思潮影響下，很多數學家提出了一些公理系統對歐幾里得的公理進行完善。他們提出的公理體系，能做到本來歐幾里得體系能做到的所有事情，並把歐幾里得沒有提出而當「顯然事實」自然使用的東西利用新提出的公理是之操作「合法化」——要麼本身以公理方式提出，要麼成為新公理的推論。

這裡比較著名的新歐幾里得幾何公理體系有很多。這裡點出兩個，一個是希爾伯特公理體系（對，就是數學界亞歷山大的那個希爾伯特），一個塔爾斯基公理體系（對，就是那個搞出一個球變兩個大的分球悖論的那個塔爾斯基）。而神奇的事情發生了，塔爾斯基證明了，他提出那套體系的完備性等價於實數的完備性（就是你數學分析學到實數完備性），而且證明還是構造性證明。

好了，我理解的神奇有兩個，

一是，公理體系的完備性和實數的完備性完全是兩個不同表述，居然能聯繫到一起。

二是，證明居然是構造性的。簡單的說，存在演算法來解決你初中學習的所有平面幾何問題的可能。——當然塔爾斯基證明用到的構造複雜度很高，沒有工程意義的實用價值。

番外：

哥德爾不完備定理成立的一個充分條件「包含一個皮亞諾算術體系」，這意味著歐式平面幾何不包含這樣的體系。

我見過一道大二的習題，是證明歐幾里得的原始公理那幾條，推不出直線上的點是不可數的，大家可以試試——實變函數的習題。

就是現在的世界了。

不完備性定理只是針對形式理論的，不可能針對該理論的模型（例如，你的世界）。

我認為這樣的世界是不可能存在的。

我們說數學通過純粹理性研究一切可能發生的、普遍的、一般的情況；而物理學基於真實世界所遵守的原理，在數學家的工具箱中找出能夠描述我們這個真實的世界的、符合我們這個世界規律的數學工具，應用在現實世界中。

從這個意義上來講，數學是通過純粹的理性和邏輯導出定理的，其中包括哥德爾不完備性定理。這也就是說，任何一個認同這種邏輯、認同純粹理性演繹的世界，無論它的自然所遵守的原理是什麼樣的，只要承認皮亞諾算術公理，都一定會遵守哥德爾不完全性定理，這樣的定理是僅僅依存於其依據的公理以及純粹理性而存在，與世界所遵守的原理無關。

如同初戀一般美好。

一個封閉自明完滿，只有唯一正確路徑純粹機械論的系統或世界吧。

數學是不依賴現實世界的，數學是邏輯，邏輯只要能自圓其說就可以了，不需要與現實世界聯繫。

1、完全1-P&>S&

2、哥德爾強調了後者，沒有說前者；

3、沒有不完備的後者，世界將不成世界。

既然有朋友邀請我來答，那我就來答一答。屬於想法。

數可以拿來擬合、描述自然，但是它並不是自然。不管這個數的系統達到了怎樣的完備，或者成體系。它是用來觀測、描述、將事物的一些規律可描述到紙上的工具。所以，可以開一個小玩笑，說沒有牛頓第一定律，但是引力可以依然存在，它可以是某某第一定律，所謂定律是用來描述某一現象的，由人抽象出來的，不是真實存在的，但是引力確是真實存在的。

剩下的就是如果世界上的命題都可以證實或者證偽，我也不知道會發生什麼。我的生活不需要整出什麼命題，就是活著，沒有那麼多有的沒的命題。這是搞數學的飯碗

謝邀。

占坑。有生之年一定要回答這個問題。

隱隱感覺我腦中有部分，，的思想和題主是一樣的。或許更，激進。

望瓦力識別不刪。