如何理解雅克比矩陣？

01-27

最近在看常微分方程的數值解法，發現解自洽微分方程組需要計算微分方程組的雅克比矩陣。想到雅克比矩陣的用處還是挺多的，但是一直不知道它的意義到底是什麼。

用導數理解雅克比矩陣是明智與正確的。

導數作為切空間上的線性映射，可以適當選擇基底(在歐式空間里，基底的選擇用自然映射構建即可)，給出切空間上點的坐標，從而線性映射就具體化為一個矩陣。在歐式空間中，這個矩陣自然地是雅克比矩陣。

求微分其實就是線性化，導數其實就是線性空間之間的線性變換，Jaocibian矩陣本質上就是導數。

比如，映射 $f:M o N$ 在 $x$ 處的導數 $df_x$ 就是 $M$ 在 $x$ 處的切空間 $TM_x$ 到 $N$ 在 $f(x)$ 處的切空間 $TN_{f(x)}$ 之間的線性映射。切空間都是矢量空間，都有基底，所以這個線性變換就是矩陣。在歐氏空間子空間的開集上，切空間就是某個 $mathbb{R}^n$ ，比如實軸上的切空間就是 $mathbb{R}$ ，曲面上的切空間為 $mathbb{R}^2$ 。這樣一想，函數 $f:mathbb{R} omathbb{R}$ 的導數無非就是切空間 $Tmathbb{R}_x=mathbb{R}$ 到切空間 $Tmathbb{R}_{f(x)}=mathbb{R}$ 的線性變換，是一個 $1 imes 1$ 矩陣，同構於一個實數。

因此，Jacobian矩陣實質上就是切空間之間的基底之間的線性變換，這也是為什麼積分中變換坐標時前面會乘以一個Jacobian矩陣的行列式。

局部線性化，可以考慮泰勒展開到第一階的形式。對於向量函數Y=f(X)，在X=X0附近的性質可以用f(X0)+A*(X-X0)來逼近

大家都說了分析/代數性質；我來說點幾何性質。

以一維的幾何為例，由於一維上度量 $dx$ 可以反映任意自由度為1的變數的全部特徵，所以一維上的積分都可以用 $ds$ 來描述，此即一階微分不變性。【你可以想像你在繩子上前進，關係到你移動路程的實際上只要一個變數即你移動的路程就可確定了，這也就是一維的幾何的內蘊性質】

舉例： $int_{0}^{infty} f(x)dx =int_{0}^{infty} 2f(2t)dt$ ,雖做變換 $x=2t$ ,但是直接將2取出即可。

到了二維的幾何就不行了，要描述一個積分 $dxdy$ ，就再也不能只用這樣簡單粗暴的方法了。我們需要考慮的，是二維曲面本身的性質。而雅克比矩陣就可以刻畫這種性質。

當我們使用 $[ar{y},ar{x}]=Jcdot[y,x]$ 的時候，我們實際上有 $det(J)$ 就是 $[dar{x},dar{y}]$ 這一組微分在 $[dx,dy]$ 這一個平面上的投影面積，也就是說，我們不經雅克比矩陣，直接用兩個偏導數乘積來表示的面積是不準確的。而雅克比矩陣才是這兩個面積比例的真正度量。

(彭家貴，微分幾何)

可以看到任意一組非直線參數下的面積投影到平面正交參數上，可以寫成雅克比矩陣的行列式（這裡是雅克比矩陣行列式的平方開根號，[E,F;F,G]為雅克比矩陣乘以其轉置）；再將另一組參數也投影一次，亦可以寫成這個形式；這樣就間接得到這兩組參數相互投影的面積比值。所以當我們對二元函數積分時，我們有：舉例: $iint f(x,y)dxdy = iint f( ho, heta) ho d ho d heta$ ,因為這個 $ho$ 即雅克比行列式的值，才是 $dxdy$ 與 $d ho d heta$ 的面積的比值。

故而雅克比矩陣的幾何性質，就是將不同參數下的一階導數【1-from】建立聯繫，其行列式的值，也就是不同參數下，微分四邊形面積的比值。【沒找到圖有點遺憾。。先匿了，想起來了找到圖了再來。。】