John Hawthorne是如何處理lottery puzzle的？

Hawthorne的書：

Hawthorne, J. (2004). Knowledge and lotteries. Oxford University Press.

當然歡迎對Lottery puzzle的全面回答（不局限於他一人），若回答者有時間的話。

先佔坑，看能答多少……

首先就我所見一般都管這個叫 lottery paradox，它和姊妹悖論 preface paradox一同，討論 belief and degree of belief，亦即按 Hawthorne說法 qualitative/quantitative belief，之間的關係。介紹一個貌似當前標準的研究框架，它把這一悖論/佯謬置於一個 triple 的考察之下，按照 Hawthorne，

People use both qualitative and quantitative modes to talk about beliefs, and Locke proposed a straightforward relationship between these two modes. The preface and the lottery suggest a way to elucidate this relationship with clarity and precision. (Hawthorne 1999)

具體說來這三個東西是

1）Logic of belief (定性)，比較 trivial 的 等等。值得一提的是命題的合取

悖論直接來自於對合取規則的使用。

2）Possibility function (定量)，亦即（理性）人對某事的確信程度（degree of certainty/credence/belief）。Hawthorne 用的是 classical possibility，貝教徒用條件概率即

不管是哪種概率函數，都有 ,如果這兩個命題 inconsistent 。另外，只要以定量觀之，則 lottery 與 preface 皆不成悖論。

3）Lockean thesis

那麼，如何聯結這兩種信念，使之 coherent？目前公認的策略是利用閾值進行橋接，即某人相信 A，當且僅當他對 A 的確信程度超過某個閾值，得名系由 Foley 托古洛克，形式化如下

Lottery paradox 迫使人們對這個框架進行改進或取捨。其中，2）概率函數因其數學大腿及實踐上的成就最為魯棒，既然它說 lottery 這麼搞沒毛病，那麼人們就覺得這個 paradox 肯定是個假的悖論，問題就在怎麼戳破它。而 1） 貌似也沒什麼問題，雖然Kyburg 作為 lottery paradox 的（真·）始作俑者，他自己給的方案直接限制 1） 中的合取原則。所以大部分人，無論認為lottery paradox 是佯謬的，還是批評前者的想法 naive 的，都在 3）上做文章。一個很符合常識的想法是，如果閾值夠高，不管 還是 都夠不到，那麼雖然我沒法相信某張彩票會獲獎，但也相信不了這張獲不了獎，悖論就消解了。Hawthorne (1999) 給出的方案即屬於這種進路。

----------------------------------------------------Hawthorne 方案--------------------------------------------------------

考慮有且只有一張彩票中獎的公平樂透，令 為彩票 獲獎概率，使得 ，且 ，易得

表明在這個閾值 r 下，相信任一張彩票中不了獎；

表明在這個閾值 r 下，相信單張彩票有可能中獎。這裡 Hawthorne 用了一個手段，約定人們認為一個命題 是有可能發生（deems it genuinely possible that S），當人們不信其反題 。所以當 時，雖然某張彩票不中獎的概率大於中獎，但沒有超過信念程度閾值，所以也不被採信，兩者都只能 deem possible 而不會去 believe。（模態算符，deem possible .）

由此可知，閾值 與彩票數 相關。前面敘述有一個錯覺，好像是我們通過彩票數量來設閾值，但 Hawthorne 的分析倒過來，人們先有一個閾值，然後根據彩票規模自己的（定性）信念會隨之變化。固定一個閾值，如果彩票數量少於一定數量，那麼他選擇相信這些彩票每一個都有可能中獎；而當彩票數量超過一定數量的時候，這人的對不中的信念程度超過了閾值，此時才無法避免悖論出現。Lottery paradox 這裡給出了該閾值的最大下界，而姊妹 preface paradox 則會給出最小上界。更進一步，Hawthorne 還在 lottery context 之下將 preface paradox 也表達出來（中彩票相當於在書中發現錯誤），同時給出閾值的上下確界

，

意為當有 n 張彩票時候，人們認為任一張都有可能獲獎；有 n + 1 張彩票時，則不這麼認為，即相信任一張都不能獲獎。

不過這種情況比較不那麼「自然」，更常見的情況是還沒有數完所有的彩票，人們對於能不能獲獎的信念就產生了變化，亦即信念程度突破了閾值。那麼如何表達信念閾值，彩票總數 n，和到此人臨界的 k 張彩票合取之間的關係呢？這是 Hawthorne 在文章最後做的工作。

設上面的下確界與上確界分別為 ，對於任一個此人並不相信的命題 （例如第二張彩票不可能中獎），我們讓他在數到 k - 1時都認為彩票 2 可能獲獎，數到 k 時則相信它獲不了獎，亦即

並且 ，則需滿足

。

所以通俗的講，他通過區分認為可能 (deem possible) 和相信 (believe)，和設立與彩票數 相應的閾值 ，來達到定性與定量信念的 coherent 。最後 Hawthorne （自己很滿意地）總結道

The philosophical value of paradoxes lies in the insights they generate. In this respect we have found the preface and the lottery remarkably fertile sources of insight into the logic of coherent belief. (Hawthorne 1999)

---------------------------------------------------------其他理論------------------------------------------------------------

略說幾句別的理論，省得後來拖延過去了……

上面說到 Hawthorne 的解法用 classical possibility，Leitgeb (2013) 給出了基於條件概率的 P-stability 理論，基本思路是把 P-stable 引入到 triple 中，定義任一命題 為 對任一與之 consistent 且概率非零的 ，有 。至於最後的閾值如何選取，"there is a serious sensitivity of belief to the context"...

前面說到大部分研究 lottery paradox 的人都去維護修正閾值，但也有試圖乾脆撇開閾值策略，另起爐灶的。理由在於，通過高閾值「取消」命題 A，即相信某張彩票不可能獲獎，固然可以消除悖論，但很多時候人們確實偏向於（還是）相信它。所以有人想到，乾脆承認這一點，悖論兩支都正確，只是正確的層級不同好了。Wenmackers (2013) 提出 Stratified belief，利用 Hrbacek 的 relative/stratified analysis。這種 non-standard analysis 區分不同的 scale of magnitude。按論文里的一圖以蔽之，

於是這套分析就把本來應該去統一的，coarse-grained 的定性信念和 fine-grained 的定量信念程度之區別徹底固定下來——每一層都是其上一層的定量信念，也是其下一層的定性信念，拒絕有通過閾值而 的可能。而何時用 ultralarge level 何時用 standard level，也是語境說了算的。

Here, the problem is not that we do not see the difference between 0.999 and 1, but rather that we do not always attach any significance to the difference. Sometimes we deal with 0.999 as we would with 1, while in other contexts we may consider the difference as highly relevant. (Wenmacker 2013)

-------------------------------------------------------隨之引發的討論-----------------------------------------------------

1. 語境主義

一個易生的槽點是，什麼是「正確選取」的閾值，為什麼閾值要在此上下確界之間？（對 Wenmackers 的問題則是，從一個 level 跳到另一個 level 的依據是啥？）Hawthorne 說這是出於 rational belief 的 coherence 之要求，當今大部分則貌似訴諸語境主義，當然 coherence 也可以作為語境的一個具體要求而被並進來。

那麼這個語境又是怎麼來的？特別是，閾值的選取依賴於 possibility function，那總有先打靶再畫靶之嫌。對這個批評的回答就只能回歸到論辯模式了。例如這個回答，

Why should the choice of threshold in the Lockean thesis be allowed to depend on the agent』s

attention and interests but not on the agent』s degree of belief function? (Leitgeb 2013)

我覺得說服力就不大……

2. 還原論

從這個 triple 關係中很容易得到印象，定性的信念通過閾值而被還原為定量的信念程度。所以人實際上不是「相信某事」，而總是「對某事有多大的信心」的一種原始、不嚴謹的說法罷了。但不是所有人都贊同這一觀點，很多人仍堅持認為 Lockean thesis 並未承諾任何還原論，強調二者關係是當且僅當。

不過這個立場還是比較勉強，既然閾值與定量部分相關，通過閾值能改變定性部分，為何並非可還原的？現有研究也都只用到 ，還沒看到討論另個方向之功用的，（因為相信某事所以固定一個信念閾值，看上去不像是理性人做的事兒）所以個人覺得不免有嘴硬之嫌。

參考文獻：

Hawthorne, John Bovens, Luc (1999). The preface, the lottery, and the logic of belief. Mind 108 (430):241-264.

Leitgeb, Hannes (2014). The Stability Theory of Belief. Philosophical Review 123 (2):131-171.

Wenmackers, Sylvia (2013). Ultralarge lotteries: Analyzing the Lottery Paradox using non-standard analysis. Journal of Applied Logic 11 (4):452-467.

謝邀，去年剛好看過一篇相關的論文，不過不是直接討論lottery puzzle的，是討論它的另一個版本的。論文裡面也沒有直接給出Hawthorne的解決方案，但是提到了。

給定一個這樣的情境：昨天有人一個接一個地拋了1000個均勻的硬幣，除此之外你沒有關於此的更多信息。

先給出幾條看起來可接受的原則，然後說明在這種情境下，這些原則是有內在矛盾的。

首先看幾條通常被接受的原則：

1. 反懷疑論原則(Anti-skepticism)：你知道並非所有硬幣都是正面朝上，即，你知道存在一個硬幣反面朝上。

這條原則的背後基礎是：概率很接近1的事件是可以說「被人知道」的。也許有人堅持知識的JTB定義而不同意這條原則，但無論如何這條原則是很容易接受的，畢竟這個事件的概率很接近1，也就是幾乎是一個必然事件。要否認這條原則的話，你大概需要認為「只有確定無疑的事才能稱為知道」，而這幾乎等於懷疑論了——我們幾乎找不出來概率為1的東西。

2. 獨立性原則(Independence)：每個硬幣的落下都是互相獨立的事件。

這是無可爭議的。也許有人說這和上面那條原則已經有矛盾了——既然知道了存在一個硬幣反面朝上，那麼如果其它999個硬幣都是正面朝上，那這個硬幣就一定是反面朝上，它是正面還是反面已經被其他999個的情況決定了，因此不是獨立的。

但是這種理解有問題，即使其他硬幣都是正面，也推不出這個硬幣就是反面。反懷疑論原則只是說：「在題設的條件下」，你知道有一個硬幣反面朝上。這不等於「在你知道其他硬幣都是正面時」，你依然知道有一個硬幣是反面。當你知道其他999個硬幣是正面時你的知識集已經更新了。另外，這個「一定」也有問題，不能把「知道x」理解為「x的概率為1」，這在上面已有論述。因此，這樣認為1和2之間有矛盾是不對的。獨立性原則是可接受的。

3. 條件句的概率原則（受限的亞當斯論題、Restricted Adams Thesis）：若A和B都不是條件句，那麼你對「If A then B」這個條件句指派的概率應該等於條件概率P(B|A)。

看起來，這是一個可接受性不錯的原則。

By the way, 最初的Adams論題是不受限的，也就是沒有限制AB是不是條件句。直觀上好像沒什麼區別，但是允許條件句的嵌套將會導致很多不可接受的結果，Kaufmann, Lewis都曾證明過。

4. 受限的or-to-if原則(Restricted or-to-if)：如果你知道「A or B」並且你不知道AB各自的真假，那可以說你知道「If not A then B」。

似乎也沒什麼好質疑的。

By the way, 這裡的限制在於「並且你不知道AB各自的真假」，如果不做這種限制，就能導出很多反直觀的結果。

5. 知識的高概率原則(Knowledge＆Probability)：如果你知道x，那你不可能給它指派小於等於0.5的概率值。

沒什麼好說的，很顯然。

下面通過最開始說的那個情境，證明這五條原則有內在矛盾：

由反懷疑論原則可知，肯定存在一個最小的正整數n，使得你知道前n個硬幣中肯定有反面朝上的。而這等價於你知道「要麼前n-1個硬幣並非全都是正面，要麼第n個是反面」。顯然，這兩個析取支你都不確定真假，那麼根據受限的or-to-if原則，可推出你知道「如果前n-1個硬幣全都是正面，那麼第n個是反面」。顯然，這個條件句的前件和後件都不是條件句，那麼根據受限的Adams論題，你對這個條件句的概率指派應該等於「在前n-1個硬幣都是正面的條件下，第n個是反面」這句話的條件概率。而根據獨立性原則，不同硬幣的正反面是互相獨立的，因此這個條件概率是0.5。而這就和知識的高概率原則矛盾了。

對此悖論的解決方案不外乎對以上幾條原則的質疑。

我沒讀過Hawthorne，但根據這篇論文的注釋，我推斷題主問的John Hawthorne的解決方案就是選擇質疑反懷疑論原則——隨機事件是不可知的。（論文相關段落和注釋如下）

僅從這些並不能看出Hawthorne的論證過程，只能知道他的觀點是這樣。所以對此我寫不出更多東西。但論文作者是不同意這種解決方案的，他認為，隨機事件是不可知的，這隻對單個隨機事件成立，而對大量隨機事件的結合是不成立的。比如，對於一棵普通的樹，我們都知道秋天結束後它有葉子落下的概率為1，但如果將整個秋天分解為許多個小時，那麼每個小時有葉子落下的概率並不是1，而是一個比較小的數。我們不知道在某一小時內有沒有葉子落下，但我們確實知道經過很多個小時到達秋天的盡頭時，必然有葉子落下。

作者給出的解決方案是，質疑restricted or-to-if規則。作者建議把它改成更受限的or-to-if規則：如果你知道自己知道「A or B」並且你不知道AB各自的真假，那可以說你知道「If not A then B」。並且，存在一個比n大的正整數m，使得你知道自己知道前m個硬幣中存在一個反面的。也就是作者 認為以上的矛盾是來源於「知道p」和「知道自己知道p」並不完全等價，中間存在一個過渡區間。這麼一來，上面的論證過程就應該改寫為這樣：

肯定存在一個最小的正整數m，使得你知道自己知道前m個硬幣中肯定有反面朝上的。而這等價於你知道自己知道「要麼前n-1個硬幣並非全都是正面，要麼第n個到第m個中有一個是反面」。顯然，這兩個析取支你都不確定真假，那麼根據更受限的or-to-if原則，可推出你知道「如果前n-1個硬幣全都是正面，那麼第n個到第m個中有一個是反面 」。顯然，這個條件句的前件和後件都不是條件句，那麼根據受限的Adams論題，你對這個條件句的概率指派應該等於「在前n-1個硬幣都是正面的條件下，第n個到第m個中有一個是反面 」這句話的條件概率。而根據獨立性原則，不同硬幣的正反面是互相獨立的，因此這個條件概率等於「第n個到第m個中有一個是反面」的概率，這顯然是大於0.5的，而這就不和知識的高概率原則矛盾了。悖論解決。

但作者並沒有對「更受限的or-to-if」做什麼哲學辯護，在我看來，我認可作者所說的「知道p」和「知道自己知道p」並不完全等價，也認可如果同意存在這樣的n和m的話，m應該大於n。但作者沒有說明，為什麼or-to-if規則的前件需要改成二階的「知道」，我不知道這樣修改的合理性在哪裡，因此我認為這種修改略顯ad hoc。

我自己的觀點不太明確，我認為有兩種路徑是可以嘗試的。

一是拒絕僅僅把「知道」和「概率」掛鉤。並不是說高概率的事件就是能被人知道的，知道x可能不僅跟x的概率有關，還跟一些其他因素有關。這樣就可以拒絕Anti-skepticism並且不陷入懷疑論。但我對知識論的了解不多，所以沒能力繼續深入了。

二是把這個悖論規約到堆垛悖論上。這個悖論說，從1到1000，必存在這樣的n使得xxx條件被滿足，這就很類似於堆垛悖論。

突然感覺自己寫跑題了...寫的這個悖論和lottery puzzle不太一樣...不過有些東西還是可以借鑒過去的，辛苦題主看的時候自行將這個悖論的每個元素對應到lottery puzzle的版本上去...