神奇的數字循環？

01-26

像1/7=0.142857...2/7=0.285714..總是在142857之間循環。1/17=0.0588235294117647...2/17=0.1176470588235294...也是在0588235294117647之間循環，1/19=0.052631578947368421...2/19=0.105263157894736842...在052631578947368421之間循環，同樣的還有1/23,1/29之後的數字沒再試，總之這些分母都是質數，出現這種神奇的循環是否有個合理的說法呢？閑的沒事問問，不喜勿怪。

反對之前的所有答案（突然覺得這句話聽起來好霸氣 233333

十進位之下某些數的倒數的小數部分出現循環和 99……9 的因數有什麼關係啊？

樓上答案好像都沒審好題吧……題主問的不是為什麼倒數是循環小數，而是為什麼乘 2 乘 3 之後小數部分的循環節有一個循環。

我記得在知乎上看到過一個類似的問題，有個答主給了很好的答案，可惜我現在一時找不到這個答案。我自己簡單寫一下吧。

原因是，對於這些數，10是它們的原根。

以7為例，注意到2/7的小數部分是1/7的小數部分左移了2位，這等價於 $2 equiv 10^2 pmod 7$

同樣，3/7，4/7，5/7，6/7 在 mod 7 的意義下都同餘 10 的某個冪次，這就要求 10 的冪次對 7 的餘數遍歷 1 到 6，這等價於 10 是 7 的原根。

為什麼看起來都是素數呢，這是因為只有5類數有原根： $1, 2, 4, p^a, 2p^a$ ，其中 $p$ 是一個奇素數。

顯然10不是偶數的原根，所以能滿足的數必須是 $p^a$ 的形式，

所以其實不一定都是素數，比如 49 也滿足這個性質，只是素數的高次冪比較大題主還沒試驗到而已。

樓上答案不對，應該是999……999（任何數量個9）的所有因數構成的集合覆蓋全部的質數（2和5除外）。

我認為這是顯然的。對任意質數p，

考慮10的所有次方模p的餘數。根據抽屜原理，總有兩個10的正整數次方模p同餘。用大的減去小的，得到一個999……999000……000，這個數模p餘0。只要p不是2或者5，那麼去掉所有的000……000，剩下的999……999模p也餘0。

其實100……001也沒什麼問題，因為除了3以外，似乎最小的滿足條件的999……999都是偶數個9，那麼把它拆成前後兩半，每一半都是一串999……999，用完整的999除以折半的999（根據假設這玩意不是該質數的倍數），那麼結果確實是100……001而且也是這個質數的倍數。不過這就沒有用999……999來的直觀了。