設A,B為n階方陣,且AB-BA=A,證明|A|=0 ？

01-26

怎麼用跡和相似矩陣分別證明

線代教材里一般只處理實數或複數域，上面的答案給出了很好的證明。如果是複數域，另一個做法是把A,B看成冪0李代數 $<x,y|[x,y]=x>$ 的一個復表示。

對於一般的特徵不為0域F上的方陣，這個命題不對。

取 $F=mathbb Z /2 mathbb Z$ 二元有限域

$A=egin{bmatrix} 0 1 \ 1 0 \ end{bmatrix},B=egin{bmatrix} 1 0 \ 0 0 \ end{bmatrix}$

那麼

$AB-BA=egin{bmatrix} 0 1 \ 1 0 \ end{bmatrix}egin{bmatrix} 1 0 \ 0 0 \ end{bmatrix} -egin{bmatrix} 1 0 \ 0 0 \ end{bmatrix}egin{bmatrix} 0 1 \ 1 0 \ end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0 1 \ 1 0 \ end{bmatrix}=A$

$det A =1 e 0$

（不大記得跡是什麼了）

總之假設A可逆那麼容易有ABA^-1=B+I，於是B和B+I相似，記B的特徵多項式為f(x)那麼B+I的特徵多項式就該是f(x－1)的形式，由假設會有f(x)=f(x－1)。然而這兩個多項式的根都不一樣，矛盾。所以A不可逆

用跡來做的話:

如果 $A$ 可逆,我們有: $ext{tr}(I)= ext{tr}(ABA^{-1}-B)= ext{tr}(ABA^{-1})- ext{tr}(B)= ext{tr}(A^{-1}AB)- ext{tr}(B)= ext{tr}(B)- ext{tr}(B)=0$

而這是不對的.

反證加上算I=A^-1A的trace發現是0

就是kuchler答案後面跟上B和B+I相似的話那麼trace就一樣，但是trace實際上差了n

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深究一步

可以證明ker A是B不變的

因為ABx=（B+I）Ax

所以如果A，B都可以對角化

B限制在kerA上有一個特徵向量記做v

拿v做第一個基

然後歸納

可以知道A，B可以同時對角化了

這就是丘賽一年的額

代數第一題

亦可用李代數中的不變引理來做

顯然由對易關係知 A B張成一個李子代數 A張成這個子代數的理想從而A的一個特徵子空間在A B作用下不變而A在這個子空間上有對角形式對角線上都是一個特徵值且跡0 假定是複數域的話那麼A只有0為特徵值了