金融衍生品定價的數值方法有哪些？能解哪些衍生品價格？

01-26

最近朋友選碩士論文題目看上了 affine processes 和 Levy processes（比如常見的stochastic volatility和jump diffusions）下的歐式期權，美式期權和其他奇異期權比如巴黎期權進行數值定價。目前打算把學界所有容易推廣的數值方法（不考慮Monte Carlo）全部放出來然後比較。
目前已經會並且做過的是Fourier-cosine expansion，transform analysis and FFT，finite elements for PDE and PIDE。請問各位懂行知友，還有什麼其他的數值方法？這些數值方法是可以利用傅立葉變換也可以是不需要的。
補充：不考慮 Monte Carlo 或 Multi-level MC 的原因是，一是不太感興趣，二是如果用 MC 的話，很可能會浪費掉 affine structure 和 Levy Ito decomposition 這麼好的性質，三是後幾個方法已經明顯比 MC 快了。所以希望找出更快精度更高的方法。

你不用MC就只能在low dimension（不超過3個factor）和non path-dependent的領域裡混了。高維和路徑依賴的期權你是做不了的，即使個別可以做，也只是特例。

你說的所有模型，歐式都有close form或semi close form的解，所以完全沒必要做歐式。美式和barrier類型的用PDE是沒問題，因為他們的邊界問題在pde上可以很好的做，但如果維數變高了，或者路徑依賴性變強了，pde就廢了。而且在levy的模型里你有的不是一個簡單pde，而是一個pide，有integration的，可能finite difference會失准，這個要看模型和calibration而定，此時你可能會需要fourier、finite element或者Galerkin wavelet，而這兩種演算法的複雜度太高而效率太低了。

levy這種模型的calibration效果好，但front desk是不會用的，因為parameters沒有任何市場含義。往往是後台來check作為一個證據。而市場上對option的pricing都是基於MC的，因為PDE方法往往用來做vanilla的calibration，exotic太不好做，因為市場上的factor太多了

MC不一定就簡單粗暴的。如果是pricin gdeep otm options，傳統的mc效果不好，因為sample path 掉入payoff不為0的概率很少，收斂就慢。對於BS，我們會做measure change, 讓sample path掉入payoff不為0的範圍增加，再mc，最後再把measure 換回來得到結果。我不清楚對affine， levy process， LSV 有沒有人做過這種變換的研究，反正 there are some maths to do。

monte Carlo是當代定價最重要的方法，也是大勢所趨，你上來就排除了。。。

可以考慮做一做LSV based calibrator.

不知道你在國內還是國外，如果在國內不建議選這樣的題目，屠龍之術