什麼是隱含波動率 (Implied Volatility) ?

01-26

什麼是Implied Volatility(IV)?BS 公式的假設有什麼問題？
如何計算IV？
什麼是Volatility Smile?
什麼是Volatility Skew?
什麼是IV Surface，它的形態有什麼特點？

Put和Call的IV形態有什麼區別？這跟1987年的黑色星期一有什麼聯繫？
期權交易員為什麼報價的時候喜歡報IV而不是直接報價格？
IV對於期權定價有什麼用處？( Exotics)

瀉藥，理論方面的答案就不獻醜了（畢業幾年基本也忘記差不多了），試著從國內市場的角度簡單補充幾點：

1. Implied Volatility對未來波動的預測效果強於GARCH等模型的預測效果。國內目前的當月和近月合約，已經能相當好的反應未來期權存續期內的underlying價格波動（在沒有新的事件新聞改變基本面預期的情況下）。

2. BS公式假設的正態分布，和真實情況中的尖峰肥尾分布差距還是比較大的，過去半年在國家隊的高拋低吸下這個峰變得更尖了。

3. 計算IV用Newton method，效率上實盤夠用。

4. Vol Smile是對正態分布的修正，Vol Skew反應的是市場的大部分玩家還是帶有方向性觀點的。

5. IV Surface，理論上應該是平滑的才能保證無套利空間，而實際市場上由於交易成本的關係，只能說相對平滑（小的起伏和毛刺還是有不少的）。

6. 目前國內Call和Put的IV基本是對稱的（計算時underlying調整貼水後）。

7. 對於期權而言，波動率才是真正屬於期權的價值，比起價格更加直觀。

8. BS也好，IV也好，都是一把尺子，只要知道尺子和實際長度之間的誤差（甚至只是大概知道），尺子本身是不是100%準確就不那麼重要了。

什麼是Implied Volatility(IV)?

由BS公式倒推出的volatility

BS 公式的假設有什麼問題？

看在哪裡用了，假設的問題在於不同於現實，不同的市場問題不一樣。正常的市場里，no transaction cost和constant volatility是常見的問題，國內我覺得是short underlying做不到。

如何計算IV？

Newtons method

什麼是Volatility Smile？什麼是Volatility Skew?

以前的公司里一般把upside的implied vol稱為smile，downside的稱為skew，不過估計大家叫法也不一定一樣。不過指的都是curvature吧。

什麼是IV Surface，它的形態有什麼特點？

具體情況都不一樣啊。最常見的，curve上是ATM最低兩個wings高，term structure一般近月的低遠月的高。

Put和Call的IV形態有什麼區別？這跟1987年的黑色星期一有什麼聯繫？

理論上是一樣的，除非買賣underlying有限制。這個神馬聯繫不知道，主要是還沒出生。。

期權交易員為什麼報價的時候喜歡報IV而不是直接報價格？

報價格的問題在於它一直在變啊，你如果不想trade delta豈不是很痛苦。正常交易還是報價格，只是把delta和underlying也一起報，也省去各自hedge的slippage。國內好像是報IV多，道理類似了，不過大家對time to maturity的理解其實可以是不一樣的。

IV對於期權定價有什麼用處？(Exotics)

Exotic option不好hedge，回過頭來還是要用listed option，所以IV就是一個benchmark了。

第二次被收錄還是有些小小激動的～～～～

原文：

@陳皇宇 Renco 你確定問這個而且邀我不是你想面試我么……？我才不信你不懂這個呢～所以既然是面試我，這題我絕不按紅寶書標答來答，雖然幾次準備面試標答快要背下來了……所以以下答案比較偏學術，偏離標準，隨心所欲，許多定義源於學術界，與市面上的定義不同。

BS的坑：

BS假設很多問題，什麼成本問題啊，利率固定啦，世界不可無限分割啊……這些都是小毛病無傷大雅，修正參數的事。但是BS有個兩個致命的毛病：1，lognormal； 2 vol constant

lognormal，也就是return normal 是不符合現實的。因為normal在2階矩以上的信息可以說幾乎是平凡的，然而現實中的分布怎麼可能那麼好就是高斯分布呢？有偏度，有肥尾（峰度），甚至還有「尾偏度」（五階矩）。這導致我們不能單單用前兩階的參數去衡量一個期權的價格（BS其實就是個二階）

另一方面，人們長期觀察發現，二階矩（方差或波動率）自己是個」脫韁的野馬「(self-dynamic)，別說是不是常數了，連一般的時間函數都不能滿足，搞不好還是隨機的(stochastic)。因此一般的計算的歷史波動率只能在期權剛「拍出去」的時候用一用了，在剩下的時間裡，人們只能根據期權價格「反算」一個波動率，這個就是IV。

業界里IV特指BS的IV，也有標準的dupire定義，但是今天我偏偏不這麼答！ @陳皇宇 Renco 大神要我問題難道就想聽個mark joshi的標答么？大家看我的的簡介：G_t測度，這個是IV所屬的一個專有測度，估計皇宇大邀我想必是看到這個特殊的記號了吧。於是乎……

二階矩的世界（framework）：

首先在這個世界裡，我們約定俗成一個規則：所有資產都被鞅化。這是因為我們在考慮波動率的時候，現在把它當作一個獨立的含時間參數的變數，他不和一階的漂移發生任何關係。所以以下討論的期權全部都是期貨期權「future option」，不管用了什麼符號表示資產。

首先一筆帶過一般的 IV定義（計算時太長了不寫了）：

$sigma( heta) = argleft{ c_{model}(sigma( heta),w)=c_{market} ight}$

就是代入參數是的期權價格和市場價格相等的波動率，在BS下沒有參數，sigma自己就是參數

然後引入Dupire自己的G_t測度框架，首先我們將鞅化之後代表二階項的方差分離出來：

$E[S_t^2Gamma(S_t)|F_0]$ ，這個是St過程自己的瞬時（僅在t刻）二次項。這個變數是local的，你可以認為不帶任何的「波動」的性質，而僅僅作為一個二次縮放倍數。

再引入自帶的dynamic的脫韁野馬，「瞬時波動率係數」：

$E[sigma^2_tS_t^2Gamma(S_t)|F_0]$ ，這是，在給定分布下，二次項被波動率係數給縮放了，這一步可以認為是vol決定的（如果vol本身是隨機，拿著一項也是隨機的，然後求了期望）。

在t時刻，實際上的vol縮放是上面二式的比值即 dynamic倍數/local倍數，這樣比出來我們才能得出實際波動率被帶動的變話部分：

$E^{G_t}[sigma^2_t] =frac{E[sigma^2_tS_t^2Gamma_{bs}(S_t)|F_0]}{E[S_t^2Gamma_{bs}(S_t)|F_0]}$

這個極特殊的測度，我么稱之為G_t測度
所以，self-dynamic下IV的嚴格定義式為：

$sigma^2_{iv,t=0}=frac{1}{T} int_{0}^{T} frac{E[sigma^2_tS_t^2Gamma_{bs}(S_t)|F_0]}{E[S_t^2Gamma_{bs}(S_t)|F_0]} dt$

式中的gamma用哪個模型表示，就是哪個模型的IV

之所以稱之為一個測度，是因為下面的local項，不但修者了波動率變換本身，其實還修正了價格的概率密度，相當於對價格概率密度做了每一時刻的RN導數都為：

$frac{S_t^2Gamma(S_t)}{E[S_t^2Gamma(S_t)|F_0]}$ 的測度變換，修正了二次項的影響。

之所以這麼做是因為波動率自己「太脫韁了」（可單獨作為一個變數，需要專門被測量，甚至是隨機的），脫到我們不能用一般的價格模型去去衡量它。而且波動率自己的變換會直接影響到擴散項的瞬時變換（gamma），導致了我們為他專門建立了一個測度。（注意，和中性測度變換不同，這是一個修正二次項的縮放變換，而不是平移變換）

也因為這種「脫韁性」，讓波動率成了一個獨特的能衡量期權的不確定的參數。給出一個模型的IV好於直接給出那個模型下的價格，因我們不但能用它交易（作為報價），還能用它直接算出這個期權獨有的特性。如果用在奇異期權上，我們可以很直觀的看出他比一般期權「更加不確定了多少」或這「貴了多少」，用IV帶入一般的數值法敏感度分析（比如MC，FDM，路徑法）算出的Greeks也更加切合市場上的報價（奇異的Greeks很難很難算，而且很容易算錯）。當然也包括了後面要說的曲面斜沒斜，笑沒笑，」volga風險「。這些是價格給不出來的。

魔王的微笑：

在市場中，vol有一種被稱為「槓桿效應」的現象。即價格變化已經很大的時候，人們會認為波動率比實際的要大。尤其當價格下跌的時候，人們會認為這個資產更有「風險」（也即是quantile loss更大）。這一現象，再加上上面是所說有些資產分布自帶肥尾的特性，構成了一種「人們認為」波動率會放大的現象，也就是smile和傾斜。

上面當然是標答，然後這當然沒有完。因為黑貓認為不從「凸性」角度來將這兩個概念是耍流氓的，不quant的！

由於期權的報價自帶了兩個變數，執行價格和到期日。所以很自然，每一個價格和到期日都對應這個一個IV。兩個維度一個值，很容易就能想像，每個資產會對應一個曲面：

關於笑和斜，我們想要這兩個形狀和一些概念發生關係，需要藉助和他們最為貼近的函數凸性：

函數對於一個參數的凸性是由他的對這個參數的二階偏導決定的，所以這裡我們也定義一個二階偏導：

$frac{partial^2sigma(K,T)}{partial x_t^2}$ 其中 $x_t =logfrac{F_t}{K}$

有了凸性，skew和smile就好定義了：

我們定義 skew專指ATM附近（gamma交易員微信號給了一個.9 到 1.1 ATM的範圍） $sigma^2$ 對 $x_t$ 的偏導數或者乾脆就指ATM處 $sigma^2$ 對 $x_t$ 的偏導數

我們再定義 smile為：偏離執行價格的是凸性變大的現象（可以用 straddle價格衡量）

不過講真，單一信息說明的還是有限，所以對trader，能直接給丫看曲面就給丫看曲面，直觀簡單。

關於曲面的形態，這是個有意思的話題～

簡單來說對於即期（T-&>0)的曲面（也就是曲線），決定隱含形態的主要是兩個屬性：

1.二階矩和四階矩變數的相關性 $ho$

2.波動率的波動率 $eta$

首先曲面會在ATM附近達到以低點（在ATM點不一定達到，所以他那一點偏高還是偏低可以側面反應傾斜程度，這也是什麼skew也以用ATM凸性衡量），然後會根據兩邊的尾部特性而選擇性「翹起來」（這裡不用峰度衡量，是因為峰度是衡量兩個不同尾部的，而實際上左尾和右尾的胖度是不同的，可能涉及五階矩「尾偏度」）

在ATM處，我們甚至可以有豐富的表情包：

往左邊，可能人們的恐慌會加劇一些，也就是凸度的絕對值會大一些。所以正常看到的曲面，左邊笑的都比右邊彎：

魔王的微笑，奪走了多少社會的穩定……

隨機致富傻瓜：

原則上，根據call-put平價，他們的IV應該是一樣的。而實際上，因為IV可以反映人們的報價波動率，在類似多空預期失衡的時候人們會很自然的用腳投票，波動率會反映出他們的心理預期。在大家拋售砸價的時候，認為一定會下跌的預期自然會讓put比平時更貴。

請原諒黑貓谷歌了一下，在1987年黑色星期一之前，大家還認為波動率是沒有skew的。然而危機到來時所帶來的put執行概率必然提高，直接虧死了put的賣方。這個時候人們才意識到，看漲看跌的波動率是不一樣的。人們的預期，報價和市場上的供需行為將必然影響價格從而影響IV；同時一些額外費用和成本如果沒有加以修正便加入了價格里，也會推高IV（比如現在國內ETF高的離譜的put iV）。

這種人人避之不及的在災禍里確有一些隨機致富的傻瓜，創造性的想出了低價收購垃圾期權（超深度OTM，基本不可能被執行），以平時流血的代價換來危機時的超額收益。是的，我說的就是Taleb，黑天鵝這個詞就是這個哥們發明的。

吐槽：

這也算陳博士 @陳皇宇 Renco 對黑貓在知乎上的在線開卷筆試的答卷了，只是硬生生讓黑貓寫成了段子。波動率的東西，遠遠還沒有發展到非常成熟的階段。Gatheral大仙也說了：There is still plenty more to do~

看到一句話：

Implied Volatility: 「wrong number that when plugged into the wrong equation (Black-Scholes) gives the right price.」

出處： https://svan2016.sciencesconf.org/conference/svan2016/pages/01_JorgeZubelli.pdf

可不可以在BS模型中稍加改變，消除或者很大程度減弱implied volatility？比如加入一個滯後項。

BS模型有6個參數，其中5個都是可以觀測的，包括strike，time to maturity，stock price，risk-free rate，只有volatility是不可觀測到的，因此用市場上的期權價格，帶入BS模型，可以求出Volatility，這個間接求出來的就是IV

沒見過期權交易員用IV報價的，每個公司算IV的方法不一樣，怎麼可能有統一的IV報價方式。

最近重新梳理了一下BS公式，本人非業內，偏理論，回答不對還請多多指教

1. 什麼是Implied Volatility(IV)?BS 公式的假設有什麼問題？

期權定價的時候是假定有一個方差率，是求變分的時候引入的，但是這個方差率的含義是這樣的：

如果存在一個無風險收益rf的話，那麼該方差率其實就是股票收益率ri和rf的差值。

IV我的理解是通過反解BS公式，目的就是看股票收益率的變化。

方差率原來的假定是個常數，但是該常數仍然是以變數的形態存在，可以進行反解。

2. 如何計算IV？

牛頓法

3. 什麼是Volatility Smile?

不知道

4. 什麼是Volatility Skew?

我的理解就是IV Surface在形態上是傾斜的。

5. 什麼是IV Surface，它的形態有什麼特點？

IV Surface就是通過二維meshgrid，做因變數的曲面圖。相當於假定自變數具有連續性。IV Surface在形態上是傾斜的。

6. Put和Call的IV形態有什麼區別？這跟1987年的黑色星期一有什麼聯繫？

我沒做過

7. 期權交易員為什麼報價的時候喜歡報IV而不是直接報價格？

我沒有實際經驗

8. IV對於期權定價有什麼用處？( Exotics)

個人理解是跟Exotics關係不大。

拿BS model European Call舉例

公式里的小s也就是volatility 它是不能從市場直接觀測得到的這時候如果你令market price equals to BS price 再用numerical method比如Newton或者Secant得到的vol就是implied vol了