det(AB)=det(A)det(B)有簡單證法嗎？

01-26

記得以前上某門線代課的時候教授倒是講過一種很簡單的證明，於是我去翻了翻筆記。當時我們用的是 Peter Lax 那本書，所以證明的前提是你接受他對行列式的引入。對於某個矩陣 $A = (a_1,a_2,dots,a_n)$ ，我們定義一個到 R 的函數 $D(a_1,a_2,dots,a_n)$ 。如果這個函數滿足

1. $D(a_1,a_2,dots,a_n) = 0, ext{ if } a_i=a_j, i eq j$

2. $D(a_1,a_2,dots,a_n)$ 是一個多重線性函數.

3. $D(e_1,e_2,dots,e_n)=1$ (e是標準基）

那麼 D 就是矩陣 A 的行列式。（其實 Lax 在給出這個定義之前給了很自然的幾何的motivation，有興趣可以去看看）。

現在定義一個新的函數 $f: B mapsto det(AB)$ , 我們不難驗證 $f$ 滿足性質1，2，所以 $f$ 一定可以寫作 $cdet(B)$ 的形式（這裡 c 是一個常數）。現在令 $f(I)=1$ , 我們可以得出 $c = det(A)$ ，所以 $f(B) = det(A)det(B)$ 。證畢。

當然樓上冰神的證明或許更直接一些，不過我個人不太喜歡搗鼓矩陣...（所以線代很多題老是不會做2333

思路比較簡單的證明方法是：

矩陣有三種初等變換：交換兩行(列)，某一行(列)乘以常數，某一行(列)乘以常數加到另一行(列)上。

首先第三種初等變換不改變矩陣的行列式的值(行列式的性質)。

其次如果 $A,B$ 之一是對角陣，那麼根據行列式的定義可以驗證 $det(AB)=det(A)det(B)$ 。

注意：只用第三種初等變換可以把矩陣化為對角形(高斯消元法)。

如果主元 $a_{ii}=0$ ，如果 $i$ 行或 $i$ 列不全為0，即 $a_{ij} eq0$ 或 $a_{ki} eq0$ ，直接把第 $j$ 列或者第 $k$ 行直接加過來就可以。如果 $i$ 行和 $i$ 列全為0，直接跳過對右下角的分塊繼續消元。

這個消元過程只是為了證明乘積的行列式這個性質，所以最後化成的對角形並不是滿秩縮在左上角的那種情況，不可以回帶，和解方程的消元法還不太一樣。

於是

$P_r..P_1AQ_1...Q_s=A^{}$

$A=(P_1)^{-1}...(P_r)^{-1}A^{}(Q_s)^{-1}...(Q_1)^{-1}$

$det(AB)=det((P_1)^{-1}...(P_r)^{-1}A^{}(Q_s)^{-1}...(Q_1)^{-1}B)$

$=det(A^{}(Q_s)^{-1}...(Q_1)^{-1}B)$ (注意這裡 $A^{}$ 是對角陣)

$=det(A^{})det((Q_s)^{-1}...(Q_1)^{-1}B)=det(A)det(B)$

引理1：將行列式的某一行（列）乘以某一係數加到另一行（列）上去，不改變行列式的值。

證明思路：設把行列式的第i行乘以k後，加到第j行上去。把新的行列式按第j行展開，可以發現展開的結果是兩部分的和，一部分就是原行列式的值，另一部分是另一個行列式的值，這個行列式的第j行就是第i行的k倍。有兩行線性相關的行列式，其值為0，故引理得證。列變換同理。

引理2：上三角行列式的值，等於所有對角元之積。

證明略。

引理3：兩個上三角矩陣相乘，結果仍是上三角矩陣，且其每個對角元正是原來兩個矩陣相應對角元之積。

證明略。

det(AB) = det(A) det(B) 的證明：

用引理1中的行變換，將A變成上三角陣A（過程類似高斯消元法）；用引理1中的列變換，將B變成上三角陣B。由引理1，det(A) = det(A)，det(B) = det(B)。
將同樣的行變換和列變換作用於AB。由於行變換相當於左乘一個矩陣，列變換相當於右乘一個矩陣，所以變換的結果是AB。由引理1，det(AB) = det(AB)。
由引理2、3，det(AB) = det(A) det(B)，故有det(AB) = det(A) det(B)。

任何一個矩陣都可以通過高斯消去法寫成一系列：交換兩行的；或，將一行乘以係數加到另一行的初等變換矩陣與一個上三角陣的乘積

$B = T_1T_2...T_kU$

上三角矩陣的轉置是個下三角矩陣，這個下三角矩陣如果有為0的對角元，則B不滿秩，AB也不滿秩，顯然det(AB) = det(A)det(B) = 0。沒有為0的對角元時，這個矩陣可以進一步使用高斯消去法寫成一系列初等變換與一個對角陣的乘積，方便起見我們將每個初等變換矩陣用它的轉置來表示：

$U^T=P_1^TP_2^T...P_m^TLambda$

或者

$U = Lambda P_m...P_2P_1$

高斯消去法用到的兩類初等變換矩陣與另一個矩陣左乘或右乘，等於初等變換矩陣的行列式值乘以矩陣的行列式值（證明略，見各代數課本，實際上是交換兩行則行列式取反，乘以係數加到另一行則行列式值不變）

兩類初等變換矩陣的逆仍然是初等變換矩陣（證明略）

右乘對角陣實際上是將某一列乘以係數的初等變換的組合，容易證明

$det(CLambda) = det(C)det(Lambda)$

C為任意矩陣， $Lambda$ 為對角陣

則

$det(AB) = det(ABP_1^{-1}P_2^{-1}...P_m^{-1})det(P_m...P_1)=det(AT_1T_2...T_kLambda)det(P_m...P_1)$

$=det(AT_1T_2...T_k)det(Lambda)det(P_m...P_1)=det(A)det(T_1T_2...T_k)det(Lambda)det(P_m...P_1)$

而當A=I（單位陣）時

$det(B)=det(IB) = det(I)det(T_1T_2...T_k)det(Lambda)det(P_m...P_1)=det(T_1T_2...T_k)det(Lambda)det(P_m...P_1)$

所以

$det(AB) = det(A)det(B)$

一、基於定義的直接證明

直接用定義來證，用到一點置換的知識，因為行列式的定義就用到了置換的概念，對於 $n$ 階矩陣 $A$ ，其行列式定義為

$det Astackrel{Delta}{=}sum_sigma(operatorname{sign}sigma) A_1^{sigma(1)}A_2^{sigma(2)}cdots A_n^{sigma(n)}$

置換 $sigma$ 取遍整個置換群 $S_n$ ，它們都是定義在 ${1,2,cdots,n}$ 上的雙射，共有 $n!$ 個。 $operatorname{sign}sigma$ 表示置換 $sigma$ 的符號，指的是將 $123cdots n$ 變成 $sigma(1)sigma(2)sigma(3)cdotssigma(n)$ 所需的交換的次數的奇偶性，可以證明 $operatorname{sign}sigma au=operatorname{sign}sigmaoperatorname{sign} au$ 。

$egin{align} det(AB)=sum_sigma(operatorname{sign}sigma)left(sum_{i_1}A_1^{i_1}B_{i_1}^{sigma(1)} ight)cdotsleft(sum_{i_n}A_n^{i_n}B_{i_n}^{sigma(n)} ight)\ =sum_{i_1,i_2,cdots,i_n}A_1^{i_1}A_2^{i_2}cdots A_n^{i_n}sum_sigma(operatorname{sign}sigma)B_{i_1}^{sigma(1)}cdots B_{i_n}^{sigma(n)} \ =sum_ au A_1^{ au(1)}A_2^{ au(2)}cdots A_n^{ au(n)}sum_sigma(operatorname{sign}sigma)B_{ au(1)}^{sigma(1)}cdots B_{ au(n)}^{sigma(n)} \ =sum_ au A_1^{ au(1)}A_2^{ au(2)}cdots A_n^{ au(n)}sum_{sigma au}(operatorname{sign}sigma au)B_{ au(1)}^{sigma au(1)}cdots B_{ au(n)}^{sigma au(n)} \ =sum_ au A_1^{ au(1)}A_2^{ au(2)}cdots A_n^{ au(n)}sum_{sigma au}(operatorname{sign}sigma)(operatorname{sign} au)B_{1}^{sigma(1)}cdots B_{n}^{sigma(n)} \ =sum_ au (operatorname{sign} au)A_1^{ au(1)}A_2^{ au(2)}cdots A_n^{ au(n)}sum_{sigma}(operatorname{sign}sigma)B_{1}^{sigma(1)}cdots B_{n}^{sigma(n)} \ =det Adet B end{align}$

第一行：行列式的定義，矩陣乘法的定義

第二行：簡單地展開

第三行：關鍵步驟。將 $i_1,i_2,cdots,i_n$ 的遍歷換成一個置換，因為若不是置換，則後面的求和為零。這是因為，假設有相同的指標，比如 $i_1=i_2$ ，則存在兩個置換 $sigma_1,sigma_2$ ，使得 $sigma_1(1)=1,sigma_1(2)=2,sigma_2(1)=2,sigma_2(2)=1$ ，其它位置兩個置換相同，但這兩個置換符號相反，因此會消去

第四行：置換 $sigma$ 取遍整個置換群，而 $sigma au$ 也取遍整個置換群

第五行： $operatorname{sign}sigma au=operatorname{sign}sigmaoperatorname{sign} au$ 是置換的基本性質，後面消去 $au$ 不是針對單個 $B_{ au(k)}^{sigma au(k)}$ ，即不一定有 $B_{ au(k)}^{sigma au(k)}=B_{k}^{sigma(k)}$ ，而是對所有的 $au(1), au(2),cdots, au(n)$ 整體替換

第六行： $sigma au$ 的遍歷換成了 $sigma$ 的遍歷

第七行：行列式的定義

二、基於遞歸定義的直接證明

行列式的另一種遞歸定義為

$det A=sum_i(-1)^{i+j}A_i^jdetmathcal{A}_i^j$

其中 $mathcal{A}_i^j$ 表示去掉 $(i,j)$ 元素 $A_i^j$ 之後剩下的矩陣，於是我們可用歸納法證明。

$egin{align} det(AB)=sum_i(-1)^{i+1}left(sum_jA_1^jB_j^i ight)detleft(mathcal{A}mathcal{B} ight)_1^i \ =sum_jsum_i(-1)^{i+1}A_1^jB_j^idetleft(mathcal{A}mathcal{B} ight)_1^i \ =sum_jsum_i(-1)^{i+1}A_1^jB_j^idet(mathcal{A}_1^jmathcal{B}_j^i) \ =sum_j(-1)^{j+1}A_1^jdetmathcal{A}_1^jsum_i(-1)^{i+j}B_j^idetmathcal{B}_j^i \ =det Adet B end{align}$

第四行用了歸納假設，第三行是關鍵：因為 $sum_i(-1)^{i+1}A_1^jB_j^idetleft(mathcal{A}mathcal{B} ight)_1^i$ 可表示為一個 $n imes n$ 矩陣的行列式，即 $A_1^jB_j^i$ 為第 $1$ 行 $i$ 列元素，此行列式通過行變換可得到 $sum_i(-1)^{i+1}A_1^jB_j^idet(mathcal{A}_1^jmathcal{B}_j^i)$ ，即將第一行乘以 $(A_1^j)^{-1}A_k^j$ 加到第 $k$ 行(若 $A_1^j=0$ 自然就不用加了)。事實上， $left(mathcal{A}mathcal{B} ight)_1^i$ 相比於 $mathcal{A}_1^jmathcal{B}_j^i$ ，就多了一個 $A_cdot^jB_j^cdot$ 元素。

三、關於外代數

從行列式的定義來看，沒有比外代數更好的描述語言了。給定一個 $n$ 維 $mathbb{R}$ -矢量空間 $V$ ，其基底為 ${e_1,e_2,cdots,e_n}$ ，對於矢量 $a,b,c,a_iin V$ ，我們記 $a_1wedge a_2wedgecdotswedge a_k$ 為 $k$ -矢量，它們滿足

反對稱性： $awedge b=-bwedge a$
結合率： $(awedge b)wedge c=awedge(bwedge c)$
線性性： $(alpha a+eta b)wedgecdots=(alpha awedgecdots) + (eta bwedgecdots)$ ，其中 $alpha,etainmathbb{R}$

實數構成 $Lambda^0(V)=mathbb{R}$ ，矢量構成 $Lambda^1(V)=V$ ，二矢 $awedge b$ 構成矢量空間 $Lambda^2(V)$ ，最高的是 $n$ -矢構成 $Lambda^n(V)$ 。 $Lambda^k(V)$ 的基底類似於 $e_1wedgecdotswedge e_k$ ， $e_2wedge e_3wedgecdotswedge e_{k+1}$ ，等等，共有 $dimLambda^k(V)=inom{n}{k}$ 個。這也意味著 $Lambda^0=mathbb{R}$ 與 $Lambda^n$ 是對偶的，都是一維矢量空間， $Lambda^n(V)$ 的基底只有一個元素，比如 $e_1wedgecdotswedge e_n$ ，它有個專有名詞：偽矢。記基底 $mathcal{E}=[e_1,e_2,cdots,e_n]$ ，矩陣 $A=[a_1,a_2,cdots,a_n]$ ， $B=[b_1,b_2,cdots,b_n]$ ，則

$(mathcal{E}a_1)wedge(mathcal{E}a_2)wedgecdotswedge(mathcal{E}a_n)=(det A)(e_1wedgecdotswedge e_n)$

這一步的證明用外代數和行列式的定義即可(一個典型的外代數習題)，或者直接把它作為行列式的定義。類似地， $AB=[Ab_1,Ab_2,cdots,Ab_n]$ ，若以 $mathcal{E}A=[mathcal{E}a_1,cdots,mathcal{E}a_n]$ 為基底，則

$egin{align} (det AB)(e_1wedgecdotswedge e_n) = (mathcal{E}Ab_1)wedgecdotswedge(mathcal{E}Ab_n)\ =(det B)(mathcal{E}a_1)wedgecdotswedge(mathcal{E}a_n)\ =(det B)(det A)(e_1wedgecdotswedge e_n) end{align}$

這裡嚴格區分了矢量 $mathcal{E}a_i$ 與列向量 $a_i$ ，因為 $V$ 是一個抽象的矢量空間。這裡的 $mathbb{R}$ 也可換成其它域。

上述外代數的描述過程，體現了行列式的幾何性質，因為一個多矢實際上就是一個高維的平行多面體，比如二矢表示一個平行四邊形。因此，行列式表示基底變換的體積變化。

我還是喜歡一杆子捅到底的證明方法，高票回答里公理化行列式的方式也是很不錯的。

行列式的本質是線性變換的放大率，n 維空間到自身的線性變換，可以用一個方陣來表示，特徵向量，就是變換中方向不變的向量，特徵值就是這個向量的收縮率，所有特徵值相乘就是整個放大率。也是行列式的值。

知道這些以後，兩個矩陣相乘對應著複合變換，複合以後的變化率等於變化率的乘積，也就是

det(AB)＝DetA×DetB

大家貌似都是從代數的角度給出的證明，我這裡給一個比較information theoretic的簡單證明。

首先根據entropy的公理，對於任意兩個獨立隨機變數X和Y，H(X,Y)=H(X)+H(Y).

取 $Xsim N(0,Q_1)$ , $Ysim N(0,Q_2)$ ，則 $(X,Y)sim N(0,mathrm{diag}(Q_1,Q_2))$

注意到對於任意 $Zsim N(0,Q)$ , $H(Z)=logdet(pi eQ)$ , 因此

$logdet(Q_1Q_2)=logdet(Q_1)+logdet(Q_2)\ Rightarrow det(Q_1Q_2)=det(Q_1)det(Q_2)$

by Stephen_H._Friedberg,_Arnold_J._Insel,_Lawrence_E :Linear Algebra 4th ed.

行列式用交錯線性型定義的話這就是顯然的……另外交錯線性型的定義也是最直接地符合行列式的幾何解釋「放大率」的……

完善一下 @白如冰的答案。

在解決題主的問題之前，先說一個行列式的定理：

如果矩陣 $A$ 是一個 $n imes n$ 的矩陣。矩陣 $E$ 是一個 $n imes n$ 的基本矩陣，那麼有 $det EA=(detE)(detA)$ ，在這個式子中：

如果 $E$ 是行交換， $detE=-1$ ；如果 $E$ 是行變換（即將某一行的倍數加到另一行）。 $detE=1$ ；如果 $E$ 是行倍增 $r$ 倍， $detE=r$ 。

現在回到原題，將原題根據矩陣 $A$ 可逆與否分兩種情況討論：

如果矩陣 $A$ 是一個不可逆矩陣，那麼矩陣 $AB$ 也是不可逆矩陣。然後我們有 $det(A)det(b)=det(AB)=0$ ;
如果矩陣 $A$ 是一個可逆矩陣，那麼矩陣 $AB$ 也是可逆矩陣。這個時候根據可逆矩陣的性質， $A$ 一定可以通過對矩陣 $I_{n}$ 進行基本行變換得到。因此存在基本矩陣組： $E_{1} ,E_{2}, E_{3}, ...,E_{P}$ ，使得 $A=E_{p} ...E_{1} I_{n} =E_{p} E_{p-1}....E_{1}$ 。所以說 $left| AB ight|= left|E_{p} ...E_{1} B ight| =left|E_{p} ight| left|E_{p-1}...E_{1} B ight|=...=left| |E_{p} ight| left|E_{p-1} ight|... left| |E_{1} ight| left| B ight| =...= left|E_{p} ...E_{1} ight| left| B ight|=left| A ight| left| B ight|$ 。上式中利用了在本答案開頭提到的行列式定理。證畢。