10個人各自從1-10選數字，盡量讓自己最大且不重複，如何選？
面試官抓了10個人群面，面試題如下:
每人選擇1到10中的整數，但是任意數值，只要有2個或者以上的人選擇，則強行變成0。所有人同時選擇，所有人可以集體交流1小時，禁止說悄悄話。(見備註3)如果你不想交流，也可以不說話，到選擇的時候禁止交流。數值最高（且不為0）的前3個人錄取。如人數不到3人，則輸者重複該過程直到補足3人。
錄取只看選擇結果問：你怎麼辦？（比如交流的策略，選擇的策略，而不是怎麼表現出色以打動面試官）好吧，這當然不是面試題，這是我編的。。。不要回答打死面試官---------備註：1假如你在交流中說自己會選X，沒人監督你是不是真的選了X，本題不考慮誠信2禁止詛咒發誓，比如「我發誓我選X，否則怎麼怎麼」，就像玩狼人殺時，不能發誓說自己不是狼一樣3本題原設是1隻能集體交流，你也可以從2允許說悄悄話，3完全禁止交流 這兩個提設來解答4面試只是此題的一個背景，感覺這樣獎懲都比較適中，我也可以把題目換成上帝抓了10個人，3個人活著其他人處死...
首先，交流是沒有用的，這一步可以省略。沒有任何承諾的交流，經濟學上稱為「便宜話」（cheap talk），便宜話在大家都是完全理性，完全信息的時候是沒用的，等同於雜訊。如果大家有一些自己的私人信息，那麼根據機制的不同，便宜話有時候也能揭示一些信息。但是在這個題目裡面，便宜話怎麼著都是沒用的。
你可以嚇唬其他人說自己選10，9，8，但是這個不可信啊，因為如果還有另外兩個人也這麼嚇唬你，你還會不會在選擇的時候堅持自己的數字？
先從二選一說起，二選一的博弈特別簡單，三個數 0，1，2。其中1和2可選，選到一樣的自動分配為0。這個時候兩個人都選2就行了。這個時候兩個人都選2是絕對優勢的策略，因為此時數字歸0，於是公司隨機的從兩個人裡面抽一個人當選。但是這兩個人也沒有更好的策略，因為誰只要不選2，就相當於把入選的機會白白的給了另外一個人。
但是三選一的時候，就沒有這麼好的策略了，假如三個人都選3，那麼其中一個人偏離出來偷偷選2，就贏了。所以這個時候註定是混合均衡，也就是每個人都以一定的概率選擇1，2，3，然後這三個數給他們勝利的期望值相同，這三個人——因為是完全相同的三個人，所以會採用相同的策略，然後各自以三分之一的概率當選。
我們只考慮對稱均衡，假定參與者1，2，3選擇1，2，3的概率分別為 。那麼混合策略的定義要求參與者選1選2和選3帶來的期望收益是一樣的，我們記選上為1，落選為0，那麼博弈的矩陣如上圖所示。
看上去很複雜，但是很多時候因為收益都是0，我們看到只有當對於參與者1而言，只有當參與者2和3選擇一樣的時候，自己才有入選的機會。，所以參與者2和3都選2的概率是 ，而都選3的概率是
所以參與者1選擇1的時候，入選的總概率是
。
同樣的道理，當參與者選2的時候，入選的總概率為 ，當參與者選3的時候，入選的概率為
。
直觀上可以看出，選擇1和2的概率是一樣的，但是選擇3多了一項，解上面的方程可以得出：選擇1和2的概率分別為0.25，而選3的概率為0.50.
再往後推理十選三的話，就要用計算機來畫博弈樹計算了，但是我們依然可以刻畫出一些關於這個非合作均衡時的特性：
- 選擇10，9，8的概率應該是相同，因為總會有三個人入選，所以只要你選了10，9，8，然後這個數字沒有人選，你幾乎總是可以保證一個位子的。
- 選擇10，9，8的概率應該高於選擇其他小數的概率。如同我們在三選一裡面看到的，選大數有一點優勢，就是當其他人的選擇不和你重複的時候（比如正好隨機到參與者1選1，參與者2選2，這個時候參與者3選3就贏了），你的數最大，你就贏了。
關於合作均衡的問題，這個打開了潘多拉魔盒，非對稱策略的合作均衡有很多，比如之前我忽略了聯合分布，感謝 @劉天任 的提醒，確實在混合策略下要考慮概率的分配，所以合作博弈還是有意義的。Reject sampling有一點動態，就考慮合作博弈下，分工來選小數字避免撞車的情況已經足夠了。在上面三選一的例子中，可以證明 參與者1和2組成聯盟，一個以0.5的概率選1，一個以0.5的概率選2，都以0.5的概率選3，那麼這個策略可以把參與者3的勝率從1/3 降低到3/11。提高了參與者1和參與者2 的聯合勝率到8/11，每個人還都能夠分到 4/11的勝率。
或者再說一個均衡，參與者1選2，參與者2選3，參與者3以50%概率在2和3之間隨機，也是個均衡，這樣參與者1和2霸佔了100%的機會，然後每個人以50%機會勝選。參與者3毫無機會。
所以考慮合作均衡，那麼問題就進一步複雜化了。三選一的時候已經是這樣，那麼十選三的時候，要考慮的因素更多，因為可能存在著非對稱的，互相對抗的聯盟，也可能存在一個悲慘的散戶…… 要精確的計算聯盟，很難在這一個答案裡面寫出來。不過9選3的時候倒是有一個合作均衡6-3.
六個人組成聯盟，分別選擇9, 8, 7, 6, 5, 4 六個數字，另外三個人不論如何選，贏的概率都是0，所以無差異，可以通過調節這三個人的概率，構造一個納什均衡。這樣聯盟裡面的六個人的勝率是1/2，大於不合作時候的1/3.
但是十個人的話，多的這一個人很不好辦，因為在十個人的情況下，六人聯盟無法保證勝利者一定出在聯盟內，比如在最壞的情況下，只有兩個數沒有遮蓋所以勝出，剩下的名額在其他8個人裡面隨機挑選就可以挑到聯盟外的人。所以一個選擇應該是7人聯盟，這樣可以再次保證勝利一定出在聯盟內，但是這種情況下，聯盟內是沒有純策略均衡的。
其實這個題目作為面試題還真是可行的。因為當大家是完全理性並且不合作的時候，相當於這10個人沒有任何差別，這個時候讓他們博弈的結果，就等同於大家抽籤，十個裡面隨機抽三個；但是如果大家不是完全理性的，那麼有些人會通過嚇唬人，合縱連橫等方式獲得更大的優勢，那麼他們確實應該入選。
先來吐個槽，為什麼我個人覺得桌遊人太多了不好玩。因為人一多，每個人的勝率就低。勝率一低，人類的理性就不夠用了，會更傾向於優化點遊戲以外的東西（比如社交）。2人的博弈，要是有人把自己的勝率從50%硬生生地玩成了0%，只能怪自己。10人的博弈……會有很多人都感覺不到自己在做什麼的……反正都是輸，不如感情用事一點，比如誰最顯眼就一起上去懟他什麼的。
另一個人多了不好玩的理由是，多人博弈本來就可能沒有納什均衡，所以沒得分析，只能胡來。當然不是純粹的胡來，而是比誰更能忽悠，把其他人都繞進去了就好了。有的人可能比較喜歡這種遊戲，我覺得特別累……寧願手推一個10層決策樹也不想在一堆錯誤邏輯里忽悠來忽悠去。
@司馬懿 的回答似乎不對。不能因為問題是對稱的，就假設其他人和你採用相同的混合策略。起碼，你這麼假設求出了一個疑似納什均衡以後，要確認一下它滿足「單方面無法改進」的性質吧！
以你的3選1的情形為例。假設我是一個玩家且已知另外兩個人會以0.28,0.28,0.44的概率選1,2,3的話，我直接以概率1選3，會有0.378（另外兩個人都不選3的概率，加上另外兩個人都選3的概率的三分之一）的概率獲勝，高於你說的1/3。
於是你給出的納什均衡是假的……進一步說，這個問題沒有納什均衡。
EDIT: 這個問題是有混合策略納什均衡的，我錯了。而且一切pure strategy有限種的遊戲都有混合策略納什均衡。
應該是說槽點是在允許對話的情況下，多人遊戲里的混合策略納什均衡也不「穩定」，因為不是強納什均衡。比如說還是那個3選1，納什均衡是0.25,0.25,0.5，但是兩個人聯盟可以用0.5,0,0.5和0,0.5,0.5乾死第三個人。
因為錄取人數的期望固定（3個人），所以10人團體無論怎麼決策，這個團體的錄取期望不會變。那麼辦法只剩下一個：聚集小團體，讓這個團體的錄取期望大於本來的期望值。吞噬小團體之外散人的勝率。
那麼先看3人模型，3選1。很簡單，2個人組成團體，一個人報2一個人報3，剩下沒加入團體的那個人無論報多少，他的錄取期望都是0，於是這個2人小團體吞噬了另一個人的錄取機會，而且2人都有錄取的可能，這個團體無疑是成功的。把模型複雜化一點，10個人，從10個數里選，然後錄取1個人。 第一反應肯定是9個人組成團體，報數從2到10，剩下一個人的機會被吞噬。但是出現了個問題，就是這9個人內部，只有報9和報10的兩個人有錄取機會，剩下的人成了墊腳石，他們肯定會不滿然後離開聯盟。但沒人願意做墊腳石，聯盟不成立。換一個方式，5個人組成團體，報數從6到10，於是剩下的5個人無論怎麼報數，都沒法成功錄取，5人團體又剝奪了剩下5個散人的錄取機會，而且團體內每個人都有可能錄取（最糟的情況也就是5個散人也報6到10，大家都回到0，無人錄取，重新報一輪）到現在為止，基本的策略大概有個輪廓了，關鍵詞就是：1.小團體。2.從最高的數字依次遞減。3.團體內部每個人都必須有錄取機會。ps 題主在描述中說的很清楚，只是取面試這一背景方便描述，事實上背景改成上帝隨機抽10人做生死題也是一樣的。好幾位答主回答如何公平的面試，或者如何討好面試官，完全是偏題了。我有個想法:搶先一步聲明自己一定會選10，然後拒絕進行任何交流，我猜大概不會有人主動站出來為了不讓你入選而選10把你頂掉？
Highest unique bid auction.
In general case the close-form mixed NE equilibrium strategy still remains unknown. Due to the lack of tractable mathematical analysis for this specific game, the current literature review is rather limited.
One can still try to solve for the mixed strategy NE for reasonably small set of choices by brute force or guess and verify.
The distribution of winning bids is given by the following literature, under assumption that population is unknown and follows Posssion distribution.
Reference
Mohlin, Erik, Robert ?stling, and Joseph Tao-yi Wang. "Lowest unique bid auctions with population uncertainty." Economics Letters 134 (2015): 53-57.----
知乎居然也有那麼多看到中英文交叉就想噴的人。求大家別點贊了QaQ實在不熟悉中文的文獻，非常抱歉。哪來那麼多分析,這玩意就是無腦抽籤,一人拿一個數字,選的時候就選抽到的
顯然這是一個均衡解科普:納什均衡的前提是非合作,說白了就是沒有人會無償改變自己的選項.舉三選一的例子,三個人抽到123,抽到3的肯定不會改了,剩下12兩個人商量著怎麼把3搞下來
一個看起來可行的方案是他們倆商量一個人選2一個人選3,公平起見抽個簽吧,這時候問題來了:抽到3的那個人為什麼要把他原來的選擇改成3?這對他來說沒有任何好處,於是我們總是假設他懶得這麼做.六個人作為一個團體是最好的方法，而且作為團體向外公布這個事實，那麼團隊至少有兩人可以獲勝，且每個人的機會都是相等的。假如七人作為一個團體，那麼團體內部會產生糾紛，因為最小數無勝算。如果五人作為一個團體，那麼在另五人智商沒問題的情況下，會選擇同樣的最大的五個數，那麼遊戲陷入死循環。如果更少人作為團體，或者不組成團體而是我行我素，那麼你獲勝是隨機的，而若涉及生死，顯然是心驚膽戰的，我相信這不論從概率期望還是心理方面考慮，都不是一個好選擇。
【已截止，正在統計，大家不用給我發私信啦】
這個遊戲很有意思，不由讓我想起王建碩 曾經講過的一個遊戲。王建碩: 世界不是天才創造的我想，如果在這個1-10的遊戲中，所有人都是互不相識的，不會相互影響的，是否會像上邊那個1-100的遊戲一樣，有某種規律？
有興趣的朋友，可以一起來玩這個遊戲。
給我私信，內容只要寫： 1-10，我選X
過兩天我把統計後的結果發上來。
我的統計方式就是把收到的私信按順序，每10人為一個小組。看看每個組贏的人都是選哪個數。（注，之前我很笨，居然用郵件方式。郵件的幾位朋友，會列入第一組中。）【結果如下】
感謝大家跟我一起玩。么么噠。綠色，第1名。橙色，2、3名。
同意@xana 的回答，搶答「我選10，無論如何都不改」，不過此後不能完全不參與討論，因為可能會因此而輸。需要一直控制話語權，引導其它人分析:此時某人若選10則一定會輸，因為一定會重，而選其它數字則還有機會贏。此時10對於其它人就是一個劣勢策略，沒有人會去選。其它人抱團也是無效的，因為沒有人願意犧牲自己去選10。要謹防出現有人緊接著學你喊「我選9」，然後又有人喊「我選8」。此時剩下的七個人只能聯盟，寫七張紙條4到10，抽中哪個就算選哪個。此時他們每人獲勝的概率為3/7，當然前提是有強制力保證他們每個人抽到哪個就選哪個，否則仍然會變卦。
能交流？那就第一個說「反正我就選10了，想跟我同歸於盡的就來吧，或者你們也可以去搶一下9和8」
條件抽象為：
每個人足夠理性自私；都無法確定別人一定選什麼數；因為大家都可以欺騙，這裡嚴謹一點就是大家的話為真的概率為50%。同樣極度聰明，意味著大家都能猜到別人的策略。這也意味著如果有最佳策略的話，大家最終會採取同樣策略。
假如最佳策略為100%選7。那麼別人也會這樣，所以這不是最佳策略。
同理8，9，10。所以，目前更優策略就是大家同時等概率選8，9，10。在還有10個人的時候，成功概率都是1/15。
同等概率7到10。某人不被重複概率是4/30。則成功概率1/10。
同概率6到10。某人不重複概率1/9，成功率4/45。
如果有最佳策略。應該介於後兩策略之間的不等概選數。
待算組團賭團隊獲勝概率最大化貌似比較理性，可該題目的獲勝獎勵是入職，不是金錢財寶等可以平分的東西，因此組團的意義就喪失了。為他人做犧牲的人什麼也得不到（也就是說如果團隊要你填一個比別人小的數字你先天上就比別人吃虧——你和填10的隊友不被重複的概率相同但若你們兩都是唯一你就排在他後面）。
所以要從獎品的角度思考：10取3，如果最大數不被懟掉，10、9、8肯定能入選（不存在10、10、9這種情況因為只要一樣就被懟成0）。
1、每個人都是自私的，每個人都不會願意為了懟掉別人的10而犧牲自己獲勝的機會。SO填10其實並不吃虧——但此時你填8獲勝概率也是一樣大的。
2、萬一每個人都認定了第一點，很多人都填10，互相懟掉了怎麼辦？——你就填8拉。
3、你說那我幹嘛不填9？——放心前三名都能錄取啦。萬一有人耍小聰明，忽悠大家都填10自己填9？你填8避開嘛。
4、再萬一每個人都跟我想的一樣都填8？——這是最複雜的一個環節了，一個小時的集體討論你要運用好：首先察言觀色，評估每個人的思維能力，如果你覺得這些人想不到這麼深，那就把第一點理直氣壯的向大家不斷的灌輸（人性的自私這個理由聽上去是很有說服力的）。
如果你覺得這些人城府很深——放棄8選擇9.
5、沒有策略能保證選某個數一定能贏，除非你忽悠一群信你的傻帽組團——但是這獎品無法平分啊他們憑啥要跟你組團？
話說如果獎品是金錢，可以找6個人簽訂君子協定：獲勝後獎金平分，那這個遊戲應該是有必勝法的。
我覺得應該先考慮一個簡化的情況。
總共三個人，選擇1-2的數字。錄取不重複的最高數的一個人。
好像也沒什麼好策略。
這道題是一道比較有趣的博弈題，而且分析起來還是比較難的。。。
這個和排名第一個 @諶斌 （知乎你的 @ 機制死了么。。。）說的完全不是一個博弈，幾乎沒有關係。
那個博弈因為取平均的 2/3 所以如果大家都是聰明人（也就是大家都會選最優這件事情是 common knowledge）的話最好的方法就是都選 0 然後大家平手。我之前有一個 Amherst 的教授做過統計說第一次大概在 55 左右的人會贏（我估計是因為美國班裡總是有一些傻逼的。。。大家都害怕有傻逼。。。）
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這個則完全不一樣。是一個典型的 Battle of the sexes (game theory)。 我們簡化模型，假設只有兩個人，只有兩個選擇，大數和小數。如果兩個人同時選大數或者小數，則兩敗俱傷，判定兩人皆輸，如果兩個人，如果一大一小，則大方贏，小方稍微比輸好一點。應該是屬於協調問題，但是兩個人分別想讓結果向不同的方向協調。這種遊戲雙人的時候交流信息是完全沒有用處的。這種情況下是沒有純納什均衡（不知道中文是不是這麼說）的，只有混合納什均衡。#這個我想了一下表述有一些問題，其實是有兩個納什均衡的，就是一大一小。但是選了納什均衡都會有一方很不爽。於是在單次博弈中大家都會在表態的時候死守大數希望落到自己的納什均衡裡面，從而導致兩個人都不敢利用純策略，只能用混合策略。
也就是說人們必須都要用隨機策略才能保證自己贏得概率更加大。計算這個隨機策略極其簡單，但是解釋很麻煩在此不表。可以看這裡：Nash equilibrium兩個人的話兩個人都會比較傾向於選小數（如果我沒算錯的話）。但是不會像開頭說的那個例子裡面到最後大家都會選小數。
如果有超過兩個數的話（不止一個大數一個小數），越大的數贏了收穫越多，會得到同樣的結論，如果我沒有算錯的話----------------------------------------------------------------------------------但是人多起來這個事情就變得很有趣了。。。。。。。。多人博弈是一個相對比較深奧的問題。。。可以聯盟交流信息的多人博弈是一個更深奧的話題，還請大神來答。。。我的數學水平就到這裡了。。。（最後個人以為這是一個很美妙的學術問題。。。還希望盡量不要把它世俗化了。。。我要看著時間等到離商議結束還有十秒的時候說：我肯定選8，你們要是想拿0分就選8，我一定一定會選8。
我會選擇在第一輪找另外5個人一起組成6人聯盟，依次不重複的選5-10的數字，至少6人聯盟2人入選。如果還有第二輪，那就是8選1了，我就選7。。。