動力系統主要做的是哪幾個方向？

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動力系統主要做的是哪幾個方向？能不能分別具體地解釋一下

動力系統主要有以下幾種研究思路：

1、如何區分兩個動力系統。在測度意義下或拓撲意義下區分兩個動力系統是永恆的話題。最早的結果就是熵（entropy）的提出，他首先是一個動力系統的等價不變數，其次又可以刻畫動力系統很多本質的特性。用熵人們可以區分很多動力系統，比如兩個元素的Bounulli shift和三個元素的Bounulli shift。目前這個方向又有了新的活力，比如Gromov，Lindenstrauss和Benjamin Weiss提出的mean dimension，可以用來區分熵為無窮的動力系統。在這個方向上最近有很多重大的突破，其中包括Tsukamoto證明的一些優美的嵌入定理，李寒峰和他的一些合作者對這個概念的拓展和它與運算元代數的一些深刻聯繫的發現。又比如Lewis Bowen在2007年提出的sofic entropy的概念，用來區分一些複雜的群作用的動力系統。這個方向上最近也有很多重大突破，其中包括Bowen自己的一系列工作，李寒峰和Kerr的一些工作，以及Tim Austin關於sofic entropy的可加性的研究。對於sofic entropy，很多基本的問題都沒有結論，是很有前途的方向。

2、對於一個典型的動力系統，我們可以得到怎樣的普遍結果。這裡的典型的動力系統，可以是遍歷系統，也可以是弱混合系統，也可以是沒有任何條件的系統。一個著名的例子就是Furstenberg對於一般動力系統證明了多重回復定理，並用它來證明了組合數學裡著名的Szemeredi定理：密度為正的整數子集里含有任意長度的等差數列。這個結論就對於任何動力系統都成立。這個方向我不是很了解，有興趣的可以看看Miguel Walsh最近對於多重範數收斂定理的證明，以及葉向東，黃文，邵松對於弱混合系統的多重逐點恢復定理的證明。

3、對於一個具體的動力系統，我們可以得到怎樣的結論。這個思路下的方向就多了。不同的方向用的工具完全不一樣。主要有以下幾個方向：

研究李群作用的齊性動力系統（Margulis, Zimmer, Raghunathan, Dani, Ratner, Eskin, Mozes, Shah, Lindenstrauss, Kleinbock, Barak Weiss等等）；

研究[0,1]區間x2，x3系統或是更普遍的函數迭代系統的分形動力系統(Furstenberg, Benjamin Weiss, Hochman等等)；

研究[0,1]區間上的多項式系統的復動力系統(Avila, 沈維孝等等)；

研究光滑空間上具有某種雙曲性（Anosov，非一致雙曲，部分雙曲）的動力系統的光滑動力系統（Smale，Pugh，Shub，Katok，Pesin，Burns, Ledrappier，Avila，Rodriguez-Hertz，Wilkinson等等）；

研究群作用動力系統剛性的方向（Mostow，Margulis, Zimmer, Katok, Fisher, Spatzier, Kalinin, Brown, Rodriguez-Hertz, 王之任等等）；

研究Teichmuller空間(flat surface)或者高維Teichmuller空間上的動力系統（Margulis, Goldman, Minsky, McMullen, Veech, Yoccoz, Labourie, Eskin, Mirzakhani, Zorich, Kontsevich, Avila, Forni, Wolf，Barak Weiss等等）；

漢密爾頓系統（Kaloshin，程崇慶等等）。

動力系統還有很多方向，因為實在不了解，就不介紹了。

如果按大塊分的話，有遍歷論（Ergodic Thoery），拓撲動力系統(Topological Dynamics)，光滑動力系統（Smooth Dynamical systems）和哈密頓系統或者辛動力系統（Hamitonian or Symplectic dynamics）。有興趣的話可以去看Introduction to Modern Theory of Dynamical Systems，那本書講的很細嗯~~~~

另外補充一下哇，這個分類其實很粗糙，現在動力系統里最火的方向主要有：

1.非一致雙曲（Nonuniform Hyperbolic System）這裡面主要是基於Pesin的一整套理論，現在很熱。

2.Rigidity and Cohomology，這個也很火，主要是表示論的那一套方法。

3.Teichmüller spaces的動力系統恩

當然其他傳統的方向也有很多很活躍的嗯，就不一一列舉了~~~

本人之前做的是一維動力系統這一塊，主要考慮複平面上面多項式的迭代性質，正規族之類的。然後研究一些分形結構之類的性質。

這學期剛剛上了動力系統這門課，雖然知識水平有限，但強行答一波好了(●°u°●) 」

這學期主要學了經典的穩定性理論，講了一點哈密頓系統、KAM、周期性及遍歷論的經典結果。

從拓撲角度主要講了怎樣把一個非線性系統拓撲共軛到一個線性系統，嗯，確切的說是怎麼處理線性系統的微擾問題。。

個人感覺比較有趣的是講了點KAM，關於周期解存在性的討論，怎麼利用周期解割破輪胎面實現對解的分類，以及順帶引入對遍歷性的討論，雖然可能不是前沿吧但確實既有趣又美又有簡單的幾何直觀，最適合我這種吃瓜群眾初學了。

至於怎麼從測度角度分析動力系統的等價性並沒有學——我個人感覺和懷疑是不是會進入SDE和隨機動力系統的大坑……

順便，老師說SDE是「fashion」的

猛然發現這些都是比較初級的入門材料……還是專門做這方面研究的前輩們總結得好忽略我好了