泛函分析觀點下的隨機積分 (完)：隨機控制收斂與It?公式

01-26

需要的概率相關定義和定理：以測度為基礎的概率基本概念與結論

上一篇文章：泛函分析觀點下的隨機積分 (三)：局部鞅與半鞅

泛函分析觀點下的隨機積分系列終於到了最後一篇，這個系列至少能夠把隨機積分講清楚是個什麼東西。不過，話又說回來，隨機積分到底是個什麼東西？雖然前面說了很多主要想法，最後出來的卻是一個非構造存在性證明，然後賦予了一個符號 $int Phi_s,dX_s$ 。即便可證這個東西滿足很多熟悉的積分性質，但總覺得哪裡不太安心。畢竟，我們意識里的積分都是構造出來的，例如用黎曼和收斂到黎曼積分，又如定義簡單函數的Lebesgue積分再用其收斂定義一般函數的Lebesgue積分。那麼，隨機積分有沒有類似的結果或者構造方法呢？

答案是肯定的。雖然我們前面提到黎曼和 $sum_{i=1}^n Phi_{t_{i-1}}(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})$ 沒有路徑上的收斂，但卻有概率(測度)上的收斂，其收斂結果便是我們想要的 $int Phi_s,dX_s$ 。為此，我們需要一個結論。

1.隨機控制收斂

在Lebesgue積分里，有好用的控制收斂 (dominated convergence) 定理，而隨機積分里也有隨機版本的同樣定理。

Thm. (隨機控制收斂) 令 $X$ 為(連續)半鞅。令 $Phi^n$ 為一列局部有界過程a.s.收斂到0，且存在一個局部有界過程 $Phi$ 使得 $|Phi^n| le Phi$ 。則有 $int_0^t Phi^n_s,dX_s$ 在有限區間上一致概率收斂到0，即對於所有 $varepsilon > 0, T >0$ , 有 $lim_{n o infty} mathbb{P}left(sup_{tin[0,T]} left|int_0^t Phi_s^n,dX_s ight| > varepsilon ight) = 0$ 。

(由於這個定理的證明是非常標準的概率證明，就展示一下)

Proof. 只考慮 $X$ 為局部鞅的情況，剩下的BV過程更容易證。根據局部有界和局部鞅性質，運用上一篇的停時技巧，令 $au_m$ 為一列單調遞增到無限的停時，使得 $X^{ au_m}$ 為鞅，且 $X^{ au_m}, Phi^{ au_m}, langle X angle^{ au_m}$ 為 $L^infty$ 有界。對於任意 $varepsilon, delta, T > 0$ , 令 $m$ 足夠大使得 $mathbb{P}( au_m le T) le delta$ 。有

$egin{align} & mathbb{P}left(sup_{tin[0,T]} left|int_0^t Phi_s^n,dX_s ight| > varepsilon ight) \ le & quad mathbb{P}( au_m le T) + mathbb{P}left(sup_{tin[0,T]} left|int_0^t Phi_s^n,dX_s ight| > varepsilon, au_m > T ight) \ le & quad mathbb{P}( au_m le T) + mathbb{P}left(sup_{tin[0,T]} left|int_0^{ au_m wedge t} Phi_s^n,dX_s ight| > varepsilon, au_m > T ight) \ le & quad mathbb{P}( au_m le T) + mathbb{P}left(sup_{tin[0,T]} left|int_0^t (Phi^n)^{ au_m}_s,dX_s^{ au_m} ight| > varepsilon, au_m > T ight) \ le & quad delta + mathbb{P}left(sup_{tin[0,T]} left|int_0^t (Phi^n)^{ au_m}_s,dX_s^{ au_m} ight| > varepsilon ight) \ le & quad delta + frac{1}{varepsilon^2}mathbb{E}left[sup_{tin[0,T]} left|int_0^t (Phi^n)^{ au_m}_s,dX_s^{ au_m} ight|^2 ight] \ le & quad delta + frac{4}{varepsilon^2}mathbb{E}left[ left|int_0^T (Phi^n)^{ au_m}_s,dX_s^{ au_m} ight|^2 ight] \ = & quad delta + frac{4}{varepsilon^2}mathbb{E}left[ int_0^T left|(Phi^n)^{ au_m}_s ight|^2,dlangle X^{ au_m} angle_s ight] \ end{align}$

最後三步用了Chebyshev不等式，Doobs $L^p$ 不等式，It?等距。最後一步只剩下了Lebesgue積分，用控制收斂定理，令 $n o infty$ ，就只剩下 $delta$ ，再令 $delta o 0^+$ 。Q.E.D.

這也是我一直說的優雅概率證明，一個個定理砸過去就行了。有了隨機控制收斂定理，就可以得到隨機積分的構造

Thm. 令 $Phi$ 為一個左連續且局部可積過程, $X$ 為半鞅。對於 $t > 0$ , 令 $mathcal{P}_n$ 為一列 $[0, t]$ 上的有限分割，且 $max_{t_i in mathcal{P}_n} |t_i - t_{i-1}| o 0$ , 則有 $n o infty$ , $sum_{t_i in mathcal{P}_n} Phi_{t_{i-1}}(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})$ 概率收斂到 $int_0^t Phi_s,dX_s$ 。

Proof Sketch. 只要令 $Phi^n_s = Phi_0 1_{{0}}(s) + sum_{t_i in mathcal{P}_n}Phi_{t_{i-1}}1_{(t_{i-1},, t_i]}(s) + Phi_t 1_{(t,, infty)}(s)$ , 就有 $Phi^n o Phi$ 。通過手算 (與 $N$ 的bracket過程)，得 $int^t_0 Phi_s^n,dX_s = sum_{t_i in mathcal{P}_n} Phi_{t_{i-1}}(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})$ 。再用隨機控制收斂就搞定了。

最後，我們以大名鼎鼎的It?公式作為這個系列的收尾。

2. It?公式

令 $x_t$ 為光滑路徑。在傳統微積分里，我們有微積分基本定理： $f(x_t) = f(x_0) + int_0^t f(x_s),dx_s$ ，也可以看作微分的鏈式法則： $df(x_t)=f(x_t),dx_t$ 。如果我們把 $x_t$ 換成隨機過程 $X_t$ ，會怎麼樣呢？這便是It?公式的由來，也是隨機積分的基本定理。(歷史趣事：德國數學家Doeblin在同一時期也發現了這個公式，但他怕當時二戰德軍會利用這個成果，便把他的成果封在了一個信封寄給了法國科學院，並寫明2000年才開封。到了2000年，人們終於把信封拆開一看，「咦？這不是It?公式嗎？「）

在給出It?公式前，首先來看一個特殊情況 $f(x) = x^2$ ，也就是隨機積分的分步積分定理

Thm. (分步積分) 令 $X, Y$ 為半鞅。則有 $X_t Y_t = X_0 Y_0 + int_0^t X_s,dY_s + int_0^t Y_s,dX_s + langle X, Y angle_t$

這裡只需證明 $X = Y$ 的情況就可以得到一般情況，而對於 $X^2$ 只要寫出對應的黎曼和以及之前提到的二次變差作為概率收斂就行了。對於更為一般的 $f$ ，It?公式如下

Thm. (It?-Doeblin) 令 $X = (X^1, X^2, ldots, X^d)$ 為半鞅組成的向量, $f in C^2(mathbb{R}^d)$ 。則 $f(X_t) = f(X_0) + sum_{i=1}^d int_0^t frac{partial f}{partial x^i } (X_s),dX_s^i + frac{1}{2}sum_{i,j=1}^d int_0^t frac{partial^2 f}{partial x^i partial x^j}(X_s),dlangle X^i, X^j angle_s$

It?公式的證明思路非常簡單：若 $f$ 滿足It?公式，用分部積分可得 $g(x) = x^i f(x)$ 也滿足It?公式。由此，所有多項式都滿足It?公式。對於一般 $f in C^2$ ，在緊集里可以用多項式去逼近 (教授：往死里逼近!) 再用(隨機)控制收斂得到 $f$ 也滿足It?公式。而把 $X$ 限制在緊集里可以用之前說的停時技巧。

從It?公式可以直接看出來，半鞅在 $C^2$ 函數的作用下仍然是半鞅。It?公式並不算一個難的定理，但卻開闢了隨機分析新世界的大門,各種各樣強大的結果可以通過花式用It?公式證明。

泛函觀點下的隨機積分系列就寫到這裡。值得一提的是，我們定義積分的出發點是布朗運動有BV樣本路徑的概率為0，事實上這個並不是一個特殊情況。如果一個局部鞅有BV樣本路徑的概率為1的話，那麼這個局部鞅是常數的概率為1 (這個結論可以用來證明分解的唯一性)。所以歸根到底，鞅才是著眼點，這一路下來也是多虧了鞅方法的力量。不過，當年It?發展隨機積分理論的時候並沒有鞅方法，也不得不佩服他的敏銳。

參考材料：基本來自我的課堂筆記，課程這部分內容來自於D. Revuz and M. Yor, Continuous martingales and Brownian motion, 3rd edition, Springer, 2004.

寒假心血來潮寫了幾篇文章，在短短兩三周引來了1.2k關注還有知乎編輯推薦，真是萬萬沒想到。可惜還有兩天就開學了，在CMU地獄般生活下更新頻率估計就沒什麼保證了，爭取一個月能更一兩次吧。