函數的凹凸性漫談｜高等數學漫步（二）

01-26

（找不到合適的題圖，放一個好看的分形的圖）

學習凹凸性的過程對我來說充滿了曲折和戲劇性，讓我回想起來哭笑不得。讓我把這段細細講述——

初識凹凸性：

上大學之前，我有看一些高數，看到過關於函數凹凸性的東西。我見過第一個關於函數凹凸性的定義是這樣給出的：

同濟版定義：

作者：同濟大學數學系

來源：高等數學. 上冊/同濟大學數學系編. - - 7版. - - 北京：高等教育出版社，2014.7（2016.1）重印

設 $f(x)$ 在區間 $I$ 上連續，如果對 $I$ 上任意兩點 $x_1,x_2$ ，恆有
$fleft( frac{x_1+x_2}{2} ight) <frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$
那麼稱 $f(x)$ 在 $I$ 上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恆有
$fleft( frac{x_1+x_2}{2} ight) >frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$
那麼稱 $f(x)$ 在 $I$ 上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）。

這個定義是直接從幾何直觀上得來的。如果在曲線弧上面任意取兩點，連接這兩點的弦總是在弧段的上方，那麼曲線就是（向上）凹的，反之也有可類比的結論。取一個特殊的點，即弦的中點，曲線的凹凸性可以用弦的中點與曲線弧上具有相同坐標的點的位置關係來描述。

圖片來源：360百科

剛剛看到這個定義，我覺得還不錯，確實很直觀，重點是很好記啊！

「平均的函數值」和「函數值的平均」，一比較大小就可以得到結論。

給這個定義起一個名字，叫啥呢？(⊙_⊙)? 就叫「同濟版定義」吧！挺不錯。

上大學了。我們領到了課本，不過高數書不是大名鼎鼎的同濟版。

北大版定義：

作者：李忠，周建瑩

來源：高等數學. 上冊/李忠，周建瑩編著. —2版. —北京：北京大學出版社，2009.8

設 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可導。我們稱它在 $(a,b)$ 上是一個向上凸（或簡稱為凸）的函數，如果對於每一點 $x_0in(a,b)$ ，都有
$f(x)<f(x_0)+f(x_0)(x-x_0), forall xin (a,b), x e x_0;$
我們稱函數 $y=f(x)$ 是向下凸（或簡稱為凹）的函數，如果對於每一點 $x_0in(a,b)$ ，都有
$f(x)>f(x_0)+f(x_0)(x-x_0), forall xin (a,b), x e x_0.$

這個定義裡面的式子有點長，而且還有導數，比「同濟版定義」似乎要複雜一些啊。不過，也可以發現，這個「北大版定義「的幾何意義也是很鮮明的：

$y=f(x)+f(x_0)(x-x_0)$

是曲線 $y=f(x)$ 的過點 $left(x_0,f(x_0) ight)$ 的切線方程。切線朝著一個方向不偏不倚地走，而函數圖像有凹凸，也就是方向會偏離。這一偏，就使得曲線弧 $y=f(x)$ 總是在切線上方或下方。詳細地說，向下凸要求曲線弧總在切線上方，而向上凸要求曲線弧總在切線下方，這與幾何直觀上了解的凹與凸是相符的。

曲線弧在切線下方（上凸）

曲線弧在切線上方（下凸）

至此，我已經看到兩個不同的定義了，一個很自然的想法在我腦中產生了：這兩個定義有可以推出的關係嗎？它們等價嗎？做了好久，思路不少，但實在做不出來（我也很無奈啊）。只得拿出以前買的數分教材參考一下，沒想到，又發現了新花樣。

探索開始

數分版定義：

作者：鄧東皋，尹小玲

來源：數學分析簡明教程. 上冊/鄧東皋，尹小玲編著. 2版 —北京：高等教育出版社，2006.3（2014.4重印）

設 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 有定義。若對任意 $x_1,x_2in(a,b)$ 和任意 $lambda in (0,1),$ 有
$f(lambda x_1+(1-lambda)x_2) leqslant lambda f(x_1)+(1-lambda)f(x_2),$
則稱 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 為下凸函數；若對任意 $x_1,x_2in(a,b)$ 和任意 $lambda in (0,1),$ ，有
$f(lambda x_1+(1-lambda)x_2) geqslant lambda f(x_1)+(1-lambda)f(x_2),$

則稱 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 為上凸函數。

北大版的定義跟這個定義比起來實在是小巫見大巫啊。

心情如此

當然，擁有這麼奇葩的式子的定義不可能是憑空想像出來的，它也是從幾何意義的另一個角度進行描述的。

這裡只分析下凸的情況，上凸的情況完全可以通過類似的討論得出結論。

對於下凸的曲線來說，曲線上任意兩點間的弧段總是位於這兩點連線的下方。

設 $(x_1,f(x_1))$ 和 $(x_2,f(x_2))$ 為曲線上兩點，這兩點連線的方程為

$g(x)=f(x_1)+frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1).$

而 $x_1$ 與 $x_2$ 之間的任意一點 $x$ 可以表示為

$x=lambda x_1+(1-lambda )x_2, lambdain (0,1).$

所以曲線上兩點間弧段始終位於兩點連線下方等價於

$f(lambda x_1+(1-lambda )x_2) leqslant g(lambda x_1+(1-lambda )x_2),$

也就是 $f(lambda x_1+(1-lambda )x_2) leqslant lambda f(x_1)+(1-lambda)f(x_2).$

等價性推導

現在已經有三種定義了。等價性推導這項工作勢在必行。不過任憑我使出渾身解數，這項證明也毫無進展。

心裡憋得慌啊。最後，我上網查找了資料，找到了一些方法。

引理： $f(x)$ 滿足「數分版定義」下凸的充要條件是對 $(a,b)$ 中任意的三點 $x_1<x_2<x_3,$

$frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} leqslantfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$

都成立。

引理證明： $frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} leqslantfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$

等價於

$(x_3-x_2)(f(x_2)-f(x_1)) leqslant (x_2-x_1)(f(x_3)-f(x_2)).$

又等價於

$egin{align} (x_3-x_2)f(x_2)+(x_2-x_1)f(x_2)\ leqslant (x_3-x_2)f(x_1)+(x_2-x_1)f(x_3), end{align}$

再等價於

$f(x_2)leqslant frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}f(x_1)+frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}f(x_3).$

令 $lambda=frac{x_3-x_2}{x_3-x_1},$ 可得 $x_2=lambda x_1+(1-lambda)x_3,1-lambda =frac{x_2-x_1}{x_3-x_1},$ 代入上式中可得

$f(lambda x_1+(1-lambda )x_3) leqslant lambda f(x_1)+(1-lambda)f(x_3).$

引理證完。

定理1：若函數 $f(x)$ 為區間 $I$ 上的可導函數，且滿足「數分版定義」中的下凸定義，則導函數 $f(x)$ 為區間 $I$ 上的增函數。

定理1證明：

$forall x_1,x_2in I,x_1<x_2,$ 取 $h>0,$ 使得

$x_1<x_1+h<x_2-h<x_2,$

有

$frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h} leqslant frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} leqslant frac{f(x_2)-f(x_2-h)}{h},$

由 $f(x)$ 可導，令 $h ightarrow0,$ 可以得到

$f(x_1) leqslant frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} leqslant f(x_2).$

故 $f(x)$ 在 $I$ 上遞增。

定理1證完。

定理2：若函數 $f(x)$ 在區間 $I$ 上有遞增的導函數，則對 $I$ 上任意兩點 $x_1,x_2,$ 總有

$f(x_2)geqslant f(x_1)+f(x_1)(x_2-x_1).$

定理2證明：

$forall[x_0,x]subset I,$ 由微分中值定理和 $f(x)$ 遞增可得：

$f(x)-f(x_0) =f(xi)(x-x_0) geqslant f(x_0)(x-x_0).$

當 $x_0>x$ 時，結論也成立。

定理2證完。

定理3：設函數 $f(x)$ 在區間 $I$ 上可導，如果對 $I$ 上任意兩點 $x_1,x_2,$ 總有

$f(x_2)geqslant f(x_1)+f(x_1)(x_2-x_1),$

那麼函數滿足「數分版定義」。

定理3證明： $forall x_1,x_2in I, lambdain (0,1),$ 記 $x_3=lambda x_1 + (1-lambda)x_2,$ 則有

$x_1-x_3=(1-lambda)(x_1-x_2),x_2-x_3=lambda (x_2-x_1),$

由條件可得

$egin{cases} f(x_1)&geqslant f(x_3)+f(x_3)(x_1-x_3) =f(x_3)+f(x_3)+(1-lambda )f(x_3)(x_1-x_2),\ f(x_2)&geqslant f(x_3)+f(x_3)(x_2-x_3) =f(x_3)+f(x_3)+lambda f(x_3)(x_2-x_1), end{cases}$