泛函分析觀點下的隨機積分 (二)：It?積分與等距

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需要的概率相關定義和定理：以測度為基礎的概率基本概念與結論

上一篇文章：泛函分析觀點下的隨機積分 (一)：L2鞅與變差

如往常一樣：令 $(Omega, mathcal{F}, mathbb{P}; {mathcal{F}_t})$ 為一個filtered概率空間。 $Phi$ 和 $X$ 為兩個 ${mathcal{F}_t}$ -adapted隨機過程, $B$ 為 ${mathcal{F}_t}$ -布朗運動。在上一篇文章，我們已經建立好了定義隨機積分 $int_0^t Phi_sdX_s$ 所需要的 $L^2$ 有界鞅，二次變差與bracket過程理論。現在我們可以動手了。

接下來的內容便是回答上一篇文章留下的疑問：隨機積分應該滿足什麼性質？ $Phi$ 和 $X$ 要滿足什麼條件？

1. 主要思想

這次先考慮對 $B$ 的積分，還是從熟悉的黎曼和出發。令 $mathcal{P}_n$ 為 $[0, t]$ 上一列每塊長度趨向0的有限分割，考慮隨機變數 $sum_{i=1}^mPhi_{t_{i-1}}(B_{t_i} - B_{t_{i-1}})$ 。上一篇文章提到了布朗運動有BV樣本路徑的概率為0，所以這個黎曼和是沒有路徑上的收斂。要注意的是，在分割的每一區間 $[t_{i-1}, t_i]$ , 對 $Phi$ 都是取左端點 $Phi_{t_{i-1}}$ 。在黎曼積分里，區間里取哪個點結果都一樣，但在隨機積分里則不然。一個原因是多次強調的可測性問題。上一篇文章把 $Phi$ 比作每個時間點上股票買賣策略，而在區間 $[t_{i-1}, t_i]$ 上的買賣決策必須在 $t_{i-1}$ ，原因是不能預測未來。拋開應用，理論上不同的選點是會導致隨機積分的結果不一樣，It?積分的選點是左端點，以後可能有機會講到的Stratonovich積分的選點則是另一種。

很多教材定義It?積分是構造出來的，而這裡是用泛函分析的非構造證明，目的是為了突出It?積分的性質。

首先，我們需要一點洞察。假設 $Phi$ 性質足夠好，對於 $m > n$ , 根據條件期望和布朗運動的性質，可得 (為了體現一些條件期望的基本操作，就把步驟寫出來了）

$egin{align} & mathbb{E}left[left.sum_{i=1}^m Phi_{t_{i-1}}(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) , ight |, mathcal{F_{t_n}} ight] \ & = sum_{i=1}^n Phi_{t_{i-1}}(B_{t_i} - B_{t_{i-1}})+ sum_{i=n+1}^mmathbb{E}[ Phi_{t_{i-1}}(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) , |, mathcal{F_{t_n}}] \ &= sum_{i=1}^n Phi_{t_{i-1}}(B_{t_i} - B_{t_{i-1}})+ sum_{i=n+1}^mmathbb{E}[ Phi_{t_{i-1}}mathbb{E}[B_{t_i} - B_{t_{i-1}} , |, mathcal{F_{t_{i-1}}}] , |, mathcal{F_{t_n}}] \ &= sum_{i=1}^n Phi_{t_{i-1}}(B_{t_i} - B_{t_{i-1}})+ sum_{i=n+1}^mmathbb{E}[ Phi_{t_{i-1}}mathbb{E}[B_{t_i} - B_{t_{i-1}}] , |, mathcal{F_{t_n}}] \ &= sum_{i=1}^n Phi_{t_{i-1}}(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) end{align}$

這便是夢寐以求的鞅性質，而鞅性質成立的根本原因正是因為選取了左端點。因此，我們不妨猜測隨機過程 $int Phi_s dB_s$ 會是一個鞅。再者，根據布朗運動的定義，可得 (省略步驟，操作和之前基本一樣）

$mathbb{E}left[left(sum_{i=1}^m Phi_{t_{i-1}}(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) ight)^2 ight] = mathbb{E}left[sum_{i=1}^m Phi_{t_{i-1}}^2(t_i - t_{i-1}) ight]$

等式的左邊看似是隨機積分的 $L^2$ 範數的平方，右邊看似是 $mathbb{E}left[int Phi_s^2,ds ight]$ 。如果定義 $Phi$ 的範數為 $|Phi|_B = left(mathbb{E}left[int Phi_s^2,ds ight] ight)^{frac{1}{2}}$ ，那麼不妨猜測 $Phi mapsto int Phi_s,dB_s$ 會是 $L^2$ 等距。這便是泛函分析切入點的核心思想。

2. 具體操作

和上一篇文章一樣, $H^2$ 為連續 $L^2$ 有界鞅 (初始值為0) 組成的Hilbert空間，令 $M in H^2$ ，接下來要對 $M$ 積分。前面說到 $Phi$ 要性質足夠好，畢竟並不是所有隨機過程都是可積，這一點和其他積分是一樣的。考慮到可測性，我們希望到時間點 $t$ 的時候, $int_0^tPhi_sdM_s$ 是 $mathcal{F}_t$ -可測，也就是說 $intPhi_sdM_s$ 是 ${mathcal{F}_t}$ -adapted。為此, $Phi$ 需要滿足更強的可測性 (這只是個細節，並不是很重要) 。

Def. 令 $Phi$ 為一個隨機過程。如果對於所有 $t ge 0$ , 有 $Phi^{(t)}: [0, t] imesOmega o mathbb{R}^d,, (s, omega) mapsto Phi_s(omega)$ 為 $mathcal{B}([0,t])otimesmathcal{F}_t$ -可測，則把 $Phi$ 稱為循序 (progressively)可測。

根據前面的主要思想，定義內積 $langlePhi, Psi angle_M := mathbb{E}left[int_0^infty Phi_tPsi_t,dlangle M angle_t ight]$

定義 $L^2(M)$ 為滿足 $|Phi|_M := sqrt{langlePhi, Phi angle_M} < infty$ 的所有循序可測過程 $Phi$ (不區分0測集上的值) 組成的內積空間。因此，可以定義一個概率空間 $([0,infty) imes Omega, mathcal{B}([0,infty))otimesmathcal{F}, mathbb{P}_M)$ , 對於 $E in mathcal{B}([0,infty)) otimes mathcal{F}$ , $mathbb{P}_M(E) := mathbb{E}left[int_0^infty 1_E(t, omega), dlangle M angle_t(omega) ight]$ 。可見 $L^2(M)$ 只是這個概率空間上的 $L^2$ 閉子空間 (可證極限依舊循序可測)，自然是個Hilbert空間。It?積分的定義來自於以下定理：

Thm. 對於 $Phi in L^2(M)$ , 存在唯一一個 $I^M(Phi) in H^2$ 滿足對於所有 $N in H^2$ , 有 $leftlangle I^M(Phi), N ight angle_t =int_0^t Phi_s d langle M, N angle_s$
這個性質是It?積分的特徵性質。其積分映射 $I^M: L^2(M) o H^2$ 是一個線性等距 (linear isometry), 也稱作It?等距。 $I^M(Phi)$ 一般記作 $intPhi_sdM_s$ 。

Proof. 唯一性：若 $X, Y in H^2$ 都滿足上述性質，則有對於所有 $N in H^2$ , $langle X-Y, N angle =0$ 。令 $N=X - Y$ ，則 $langle X - Y angle = 0$ ，意味著 $X = Y$ 。

存在性: 對於 $Phi in L^2(M)$ , 定義 $H^2$ 上的線性泛函 $F^Phi$ , 對於 $N in H^2$

$F^Phi (N) := mathbb{E}left[int_0^infty Phi_t dlangle M, N angle_t ight]$

根據Kunita-Watanabe不等式，

$left|int_0^infty Phi_t dlangle M, N angle_t ight| le left(int_0^infty Phi^2_s dlangle M angle_t ight)^{frac{1}{2}} langle N angle^{frac{1}{2}}_infty$

根據Cauchy-Schwarz不等式，

$|F^Phi(N)| le left(mathbb{E}left[int_0^infty Phi^2_s dlangle M angle_t ight] ight)^{frac{1}{2}} mathbb{E}[langle N angle_infty]^{frac{1}{2}} = |Phi|_M | N |_{H^2}$

因為 $|Phi|_M < infty$ , $F^Phi$ 是一個有界線性泛函。因此，根據泛函分析里的Riesz表示定理，存在 $X in H^2$ 使得 $F^Phi(N) = langle X, N angle_{H^2} = mathbb{E}[X_infty N_infty]$ 。

證明 $X$ 滿足特徵性質：根據bracket過程的定義，可得 $XN =$ 鞅 $+, langle X, N angle$ 。根據二次變差分解的唯一性，只需證明 $XN - int Phi_sdlangle M, N angle_s$ 是鞅即可。為此，需要一個簡單的引理

Lemma. 令 $X$ 為一個 ${mathcal{F}_t}$ -adapted連續隨機過程。若對於所有 ${mathcal{F}_t}$ -停時 $au, sigma$ 且 $sigma le au$ , 有 $X_sigma, X_ au$ 可積且 $mathbb{E}[X_sigma] = mathbb{E}[X_ au]$ ，則 $X$ 為一個鞅。

令 $au$ 為一個 ${mathcal{F}_t}$ -停時，則 $N^ au in H^2$ 。根據上篇文章bracket過程對停時的反應，以及在停時之後隨機過程為常數，對其積分為0，可以得到

$egin{align} & mathbb{E}[X_ au N_ au] = mathbb{E}left[mathbb{E}[X_infty | mathcal{F}_ au] N_ au ight] = mathbb{E}[X_infty N_ au] \ & = mathbb{E}[X_infty N_infty^ au] = F^Phi(N^ au) = mathbb{E}left[int_0^infty Phi_tdlangle M, N^ au angle_t ight] \ &= mathbb{E}left[int_0^infty Phi_tdlangle M, N angle_t^ au ight] = mathbb{E}left[int_0^ au Phi_tdlangle M, N angle_t ight] end{align}$

由此滿足了引理的條件 (期望值恆為0)，所以 $XN - int Phi_sdlangle M, N angle_s$ 為鞅。最後，根據特徵性質, $I^M: Phi mapsto X$ 顯然是線性的，並且

$egin{align} & |X|^2_{H^2} = mathbb{E}[X_infty^2] =F^Phi(X) \ &= mathbb{E}left[int_0^infty Phi_t dlangle M, X angle_t ight]= mathbb{E}left[int_0^infty Phi_t^2 dlangle M angle_t ight] = |Phi|_M^2 end{align}$

得到 $I^M$ 為等距。Q.E.D. (此處應有掌聲）

這個證明足以體現我在前言所說的概率的優雅，一個個定理砸過去就得出了結果，中間全是基本操作。這個定理的巧妙之處在於突出了It?積分最重要的特徵性質，而特徵性質聯繫了It?積分和Lebesgue-Steltjes積分，使得It?積分具有一般積分的不少性質，基本上其他性質都可以通過特徵性質 (或者等距) 推出來，例如

Thm. $M, N in H^2$ , $Phiin L^2(M)$ , $Psi in L^2(N)$ 。有
$langle I^M(Phi), I^N(Psi) angle_t = int_0^t Phi_sPsi_sdlangle M, N angle_s$ ， $langle I^M(Phi) angle_t = int_0^t Phi^2_sdlangle M angle_s$
若 $Psi in L^2(M)$ , $PhiPsi in L^2(M)$ , 則有 $I^M(PhiPsi) = I^{I^M(Psi)}(Phi)$ ，即 $int_0^tPhi_sPsi_sdM_s = int_0^tPhi_sdleft(int_0^sPsi_udM_u ight)$