壓縮機與鸚鵡螺：螺線的故事

01-26

我們很少談論純粹的形式——就像螺旋這樣迷人的形式。

螺旋或者叫螺線廣泛出現在自然界和人類社會中，而且總是出現得那樣規律。本期混亂博物館將討論我們最常見到的兩種螺線，簡單理解它們的數學本質，以及自然事物和人造物為何呈現出這樣規則的形態。

這將是非常輕鬆的一期節目。

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－文字稿－

螺旋大概是最有美感的非對稱圖案了，我們在流水的旋渦中看到它，在蝸牛的背殼上看到它，也在古老的陶器上看到它。但要認真了解它們，我們還得從數學描述開始。
螺旋是指帶有螺線的圖案，或者說，動點在環繞定點作圓周運動的同時逐漸遠離定點時形成的曲線。用不同的速度環繞和遠離定點，螺線也有數不清的種類，在本期節目中，我們只介紹最簡單，也最常見的兩種螺線：等速螺線和等角螺線。
對於等速螺線，動點以恆定的速度遠離定點，並以恆定的角速度環繞定點，由此形成了一種非常均勻的螺線，那麼顯然的，從定點向外發射一條射線，那麼它被螺線截得的最短線段都等長，或者說，螺線之間的空隙寬度恆定，可以容納一個圓形在其中緊湊地滑動。

在那個工藝粗陋的時代，我們的先民廣泛地利用這個性質，用赭石在陶器上一圈圈地描，用利器在石頭上一圈一圈地刻，或者把金屬條一圈圈盤起來，就能形成一條條美妙的等速螺線，這構成了從新石器時代直到青銅時代流行於每個文明中的旋紋。其中某些旋紋還一直遺留到了現代，比如佛教的萬字紋、道教的太極圖、日本的巴紋。
等速螺線在古典時代就受到數學家的注意，它又有一個別名叫「阿基米德螺線」，古希臘遺留至今的尺規作圖三大難題中，如果破例允許使用等速螺線，那麼三等分角問題就能迎刃而解：首先將畫出待分割的角，然後以角的頂點O為起點，作等速螺線與一邊相切，並與另一邊相交於A點，接著用三段圓弧三等分線段OA，並與等速螺線交於B和C，那麼OB和OC就三等分了已知角——而且證明這個解法也只需「顯然」二字。
另外，在現代工業中，等速螺線這種等間距的特性也有巧妙應用：渦旋式壓縮機廣泛應用於汽車、空調、真空泵，它的核心部件就只是兩個間距相同的等速螺線，它們在相對滾動的同時保持每半個周期相切一次，這就形成了一對沿著螺線向內逐漸縮小的太極形壓縮腔，並在中心部位排放出去。這種壓縮機部件更少、體積更小、效率也更高、可靠性也更好，應用越來越廣。
另一種螺線是等角螺線，動點相對於定點的連線，以恆定的角度旋轉離開時形成的螺線。等角螺線因此獲得了一種相當特殊的性質：放大後能與自己重合，或者，等角螺線之間的形狀恆定，能容下一個物體一邊放大一邊滑動——這對大自然中的生物來說實在太有用了，尤其是對軟體動物。
它們貝殼主要由石灰構成，沒有彈性，必須隨著身體長大不斷分泌新的外殼，很多早期軟體動物因此長成了修長圓錐，不但重心不穩，而且容易折斷。於是某些發育畸形的軟體動物反而佔了便宜：它們的貝殼卷了起來，有效節省了空間，增大了強度，而且卷得越緊越佔便宜，連貝殼的材料都能節省很多——最終，這些貝殼的剖面就進化成了等角螺線：因為貝殼內的軟組織一直在以固定的形狀緩慢長大。

所以不難理解，為什麼等角螺線又被稱為生長螺線。各種螺旋生長的生物組織，往往都會形成這種圖案，就連植物頂端也能形成等角螺線的包絡，因為新的生長點總是更小更少。
在另一個經典的例子中，一些生物卻因此遭了殃：許多夜間活動的昆蟲用月光導航，因為月光相對地面可以看作平行光，只要與月光保持固定的夾角，就能直線飛行了。但是在一盞燭火面前，事情就不一樣了：燭光是點光源，相當於從定點發出的無數射線，當飛蛾繼續與光線保持固定夾角飛行，就會沿著一條等角螺線鑽進光源，燒死了。

因此要特別注意：趨光性是指生物向著光源運動，但那些撲火的飛蛾始終與光源保持著固定的角度，而沒有向著它飛，所以嚴格地說，飛蛾撲火併不是向光性。