第十二課：矩陣的三角分解

我們花了好幾節課的時間來學習範數的相關知識，下面我們進入新的一章：矩陣的分解。本節

課我們來介紹矩陣的三角分解。如果範數部分沒學懂也不需要擔心，按我們老師的話

來說：「聽懂了嗎？沒聽懂！真沒聽懂！聽不懂就算了吧」。

不說了，下面進入正題：矩陣的三角分解

n階方陣的三角分解

我們具體介紹之前先來講幾個概念：

我們還有如下的性質：

（1）上三角矩陣的逆矩陣還是上三角矩陣，且是對角線元素取倒數

（2）上三角乘以上三角還是上三角矩陣，且是對角線元素之積

下面介紹的一些性質需要用到了酉矩陣的一些知識，我們先來簡單的複習一下吧。

n階復方陣U的n個列向量是U空間的一個標準正交基，則U是酉矩陣(Unitary Matrix)。顯然酉矩陣是正交矩陣往複數域上的推廣。（來自百度百科）

我們可以理解為酉矩陣是單位正交向量在複數域的一個推廣。

下面我們具體介紹一些定理：

證明如下：

這裡的 是經過正交化和單位化之後得到的。正交就是用的施密特正交化的方法。

對於 而言，是用標準正交基線性表示線性無關的向量。

下面我們證明一下唯一性，方法是通過假設不唯一，然後推矛盾（這也是證明唯一性的通用方法）

後面的證明課本（高教版矩陣理論）87頁寫的好很多。如果沒有課本的話，看我下面抄一遍吧（^_^|||）

關於該定理我們有如下推論：

這裡雖然說得是QR分解，但實際上和定理1說得三角分解是一回事。只是換種說法。通過該推論，我們需要注意的是，只有滿秩的方陣才可以進行QR分解。

（正定陣一定是對稱陣 ，對稱陣不一定是正定陣），我們下面對推論2進行一下證明：

證明之前我先說一下：正定陣具有既相似又合同的特點。如果矩陣A是正交陣，那麼它滿足

下面證明唯一性：

推論2是在實數域內考慮，在複數域內，我們有推論3：

就是在實數域內的正定陣，推廣到了複數域內的Hermite矩陣，其證明過程完全類似，只需把推論2證明過程中的T改為H就可以了。我們這裡不再具體證明。

任意矩陣的三角分解

前面我們討論的分解僅僅是n階方陣的分解，而且所分解的矩陣是可逆矩陣。現在我們將以上矩陣分解做一個推廣，即討論任意矩陣的三角分解，我們之前先來複習一下行滿秩和列滿秩的概念：

我們下面給出定理3，這裡不再要求是方陣，只要是滿秩陣就可以了。需要注意的是定理3與定理1另一點不同的是沒有強調分解的唯一性。

我們下面給出該定理的具體證明，這裡我們僅證明（1），（2）的證明同理：

為什麼需要 是m個呢？因為該空間是m維的。這就是酉矩陣的定義，所以 要有m個。這時

候我們也許會很好奇，如果 這個基向量個數與維數不相等（即不再滿足酉矩陣），那麼是否

還能進行三角分解呢？下面我們介紹的定理4就在說這個問題。

在介紹定理4之前，我們先來介紹一下酉形矩陣的概念：

我們知道酉矩陣的二範數為1，酉形矩陣就是把酉矩陣的某些元素拿走，長度便不能保持為1，

於是只能稱之為酉形矩陣。

下面我們具體提介紹一下定理4：

注意該定理再次提到了分解的唯一性。因為去掉了定理3額外添加的基向量，所以分解變得具

有唯一性。這個證明我不管了，有興趣的看課本93頁吧。

我們下面介紹一個更一般的定理：

這是條件最寬的一個定理。這裡A變成了任意矩陣，連滿秩都不需要了。對於任意矩陣，有如

下分解方法。當然也有正線上三角矩陣的分解方法，只需要把這裡的L改為R即可（R是正線上

三角矩陣）。

下面我們給出具體證明：

從定理5的條件可知，矩陣A的秩為r（r個列向量線性無關，其餘列向量均是這r個列向量的線

性組合）。由線性代數的知識，我們知道對於矩陣A可以進行交換列的操作（右乘初等P），

把A的r個線性無關的列調換到最前面。因為這個矩陣P的每一行每一列僅有一個元素為1其餘

為0，所以這個矩陣P實際上也是酉矩陣。

其餘n-r個向量可由前r個向量進行線性表示，即：

於是有：

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