隨便學學Ads/CFT【2】

在這個專欄中，你將不可避免的遇到：

高產似母豬

不知所云的物理解釋

把簡單的問題複雜化

上回我們說到AdS/CFT是把量子場論和高維經典引力對偶起來。但反直覺的一點在於：維數都不同，為什麼可以對偶：CFT作為一個d維理論，怎麼就去和一個d+1維的引力模型對偶呢？下面我們仔細的比較一下兩個理論的自由度。

說起物理理論中最重要的東西，大家都公認是對稱性。那麼說起物理學中第二重要的東西是什麼呢，我覺得是自由度。

如果你的物理直覺足夠好，你就很容易理解：熵是自由度的度量。如果我們想比較AdS/CFT的自由度是否相同，實際上就是比較二者的熵到底是否相同。

在量子場論中，熵是個廣延量，也就是說我們可以得到熵正比於空間的體積，它的維度是d-1維。

而引力是個長程的相互作用，在引力理論中的熵不再是個廣延量，因此熵不正比於體積。由著名的全息原理，黑洞的熵其實正比於黑洞的表面積。

對比一下就會發現，d維空間的的表面正好是d-1維的，因此在空間維度的意義上AdS/CFT對偶是合理的。

當然很多同學（包括我）對全息原理都不是很熟悉，所以我就稍微離題一些，說說全息原理的物理圖像吧。

這部分主要參考這個知乎答案：安宇森：怎麼用很簡單的語言解釋全息原理？

我們都知道封閉系統是熵不減的，我們也知道如果有一個物體掉黑洞，那麼它就永遠出不來了。假如這個物體的熵和這個物體一起消失了，那麼這個封閉體系的熵就減小了這是我們不願意看到的。因此可以認為黑洞本身也有熵，物體掉入黑洞的時候黑洞的熵增加了，因此整個系統的熵並沒有減小。

但是黑洞沒有什麼內部結構，它的熵只可能與它的宏觀性質有關。考慮到物質掉入黑洞會讓它的事件視界變大，我們可以得到這樣的印象：黑洞越大，熵越大。

當然我們也可以根據霍金輻射的溫度以及熱力學定律直接估算黑洞的熵，以Kerr黑洞為例，可以看出黑洞的熵正好是正比於黑洞的事件視界面積的。

還有另一個物理圖像可以把全息原理推廣到黑洞之外的情況下。我們可以想像有一個閉合的曲面，在曲面內的所有熵的總和應該是多少呢？假如不停往這個曲面內扔東西，這會增加曲面以內的總質量，也會增加曲面以內的熵。直到它密度足夠高的時候就會形成一個黑洞，而當黑洞的事件視界和曲面一樣大的時候，就不能再往曲面內扔東西了，這時候熵就到了極大值。因此我們可以說：最開始閉合曲面內的總熵是小於等於黑洞的熵的。

熵和自由度之間的關係也困擾了我很久。實際上用一句話就可以說清楚：熵用來衡量系統可能存在的狀態的數目，而這也就是自由度的含義。如果更大的體積就對應更多的熵，那就說明每個單位體積都可以增加可能存在的狀態的數目。同理對於全息原理而言，只有增大表面積，才可以增加可能存在的狀態的數目，這也就說明了它的自由度是和表面積關聯的。

待續。

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