一點點散射理論

01-26

廣義的散射是指兩個粒子發生碰撞的過程，由於二者的相互作用，碰撞後兩個粒子的狀態都會發生改變，若只是運動狀態改變而內部狀態無變化，就叫做彈性散射，若內部狀態發生了改變，但粒子的組成成分沒有改變，就叫做非彈性散射，若粒子的組成也發生變化，比如正電子與氫原子散射得到氫離子和正負電子偶素，就叫做反應。

對於散射問題，我們一般會用摺合質量的方法，在較重粒子的參考系中研究，這時就變成一個入射粒子在不動的散射中心作用下的運動問題。

散射問題的圖像如下：

左邊射來一束粒子，遇到中心在O點的靶粒子，產生了一些向外傳播的球面波，大概可以類比水波遇到一塊小石頭的過程。

定態散射理論：

我們假設散射勢都是短程的，就是局域在一個區域C內，C外的勢為零或者下降得很快，那麼在遠處的粒子的波函數就應該有漸進行為：

$psi(r)sim A[e^{ikz}+f( heta,phi)frac{e^{ikr}}{r}]cdotscdots(1)$

第一項是入射的平面波，第二項是散射產生的球面波。

在C內的波函數是相當複雜的，原則上可以以（1）式為邊界條件解薛定諤方程得到，但是對於散射問題，我們並不關心在散射中心附近的行為，我們只需要知道粒子在遠處的漸進行為，就可以求出散射截面了。

漸進式（1）與微分散射截面的關係是簡單的：

$frac{dsigma}{dOmega}=|f( heta,phi)|^2$

推導過程是trival的~

因此我們的問題就變成了求解 $f( heta,phi)$ ,這可以用格林函數的方法求得：

對於薛定諤方程： $(-frac{hbar^2}{2m} abla^2+V(r))cdot psi(r)=Epsi(r)$

$Def: k^2=frac{2mE}{hbar^2}, U(r)=frac{2mV(r)}{hbar^2}$

$Rightarrow ( abla^2+k^2)psi(r)=U(r)psi(r)$

引入格林函數 $G_0$ ，which satisfies: $( abla^2+k^2)G_0(r,r)=delta(r-r)$

這個方程用傅里葉變換很容易解出： $G_0^{pm}(r,r)=-frac{e^{pm ik|r-r|}}{4pi |r-r|}$ ，

因此波函數為： $psi(r)=Phi(r)+int G_0(r,r)U(r)psi(r)dr$ ，

其中右邊第一項是自由粒子的波函數。

把G的表達式帶入，對於散射問題顯然該取G+，取 $Phi(r)=frac{1}{sqrt{2pi}^3}e^{ikz}$ ，在遠處，也就是 $rgg r$ 時，簡單的計算得到：

$psi(r)=frac{1}{sqrt{2pi}^3}{e^{ikz}-frac{e^{ikr}}{r}cdot frac{sqrt{2pi}m}{hbar^2}int e^{-ioverrightarrow{k}_fcdotoverrightarrow{r}}V(r)psi(r)dr}$ ，

與（1）式比較，可得：

$f( heta,phi)=-frac{sqrt{2pi}m}{hbar^2}int e^{-ioverrightarrow{k}_fcdotoverrightarrow{r}}V(r)psi(r)dr$ .

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L-S方程：

以上過程還有另一種推導方式：

從算符形式的薛定諤方程出發：

$hat{H}|psi_{pi}>=E_i|psi_{pi}>$ ，分離出自由部分和相互作用部分：

$(E_i-H_0)|psi_{pi}>=V|psi_{pi}>$ ，

對於入射平面波，有： $(E_i-H_0)|k_i>=0$ ，兩式相減即得：

$(E_i-H_0)(|psi_{pi}>-|k_i>)=V|psi_{pi}>$ ，

為了避免奇異性，引入無窮小虛部（是的我也覺得很神奇），兩邊同乘 $frac{1}{E_i-H_0pm iepsilon}$ ，即得：

$|psi^{pm}_{pi}>=|k_i>+frac{1}{E_i-H_0pm iepsilon}V|psi^{pm}_{pi}>$ ，

這稱為L-S方程，容易驗證： $G_0^{pm}(r,r)=<r|frac{1}{E_i-H_0pm iepsilon}|r>$ ，

因此算符 $G_0^{pm}=frac{1}{E_i-H_0pm iepsilon}$ ，稱為格林算符。

而 $G^{pm}=frac{1}{E_i-Hpm iepsilon}$ ，稱為全格林算符。容易驗證其滿足：

$|psi^{pm}_{pi}>=|k_i>+frac{1}{E_i-Hpm iepsilon}V|k_i>$ ，為LS方程的形式解。

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回到散射振幅 $f( heta,phi)=-frac{sqrt{2pi}m}{hbar^2}int e^{-ioverrightarrow{k}_fcdotoverrightarrow{r}}V(r)psi(r)dr$

$=-frac{4pi^2m}{hbar^2}<k_f|V|psi^{+}_{pi}>$ 。

定義一個新算符T，which satisfies: $T^{pm}|k_i>=V|psi^{pm}_{pi}>$ ，

則 $f( heta,phi)=-4pi^2hbar m<p_f|T^+|p_i>$ ，即散射振幅就由這個T算符的矩陣元決定。

同時，由LS方程也容易得出： $T^{pm}=V+VG_0^{pm}T^{pm}$ ，以及 $T^{pm}=V+VG^{pm}V$

這樣利用第一個式子，因為G0是已知的，我們就可以用迭代的方式逐階計算T算符了，也就是：

$T=V+VG_0T$

$=V+VG_0(V+VG_0T)$

$=V+VG_0V+VG_0VG_0(V+VG_0T)$

$=V+VG_0V+VG_0VG_0V+......$

這樣的近似方法就叫做波恩近似~

至於這樣做的收斂性，就先不管咯~

好了，先寫到這裡，待會兒再更，接下來會有一個散射例算，然後是含時散射理論，就是用含時薛定諤方程來討論，而且還可以從薛定諤繪景和相互作用繪景兩種方式來討論，當然最終的結果跟定態散射理論是一樣的~

參考書目：喀興林《高等量子力學》

倪光炯陳蘇卿《高等量子力學》

圖侵刪