1+1=2的再闡釋

01-26

在上一期混亂博物館《為什麼1+1=2》中，我們講述了一組定義了自然數的「皮亞諾算術公理」，並且用它解釋了為何1+1=2。

但限於篇幅，許多觀眾和讀者反饋未能充分理解，因此特別增加了這篇非常短的文章，將這一問題闡釋清楚。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

在二元的加法中，我們通常不會區分被加號連接起來的兩個數，比如3+4=7，我們會把3和4都叫做「加數」，但更加精細的做法，是將3稱作「被加數」，將4稱作「加數」，亦即：

被加數+加數=和

進一步的，這種區分意味著「被加數」是某個自然數，「加數」是後繼的次數，和是這樣多次後繼數到的那個自然數，仍以3+4=7為例，就是從3這個自然數開始。往後數4次後繼，這個自然數就是7。

那麼顯然的，1+1就是從1這個自然數開始往後數1次後繼，也就是2。

到這裡，如果仍然有讀者不能理解，為什麼被加數就是自然數，加數就是數後繼的次數，我們也可以在這裡隱含少許集合的概念稍作解釋：上一期《混亂博物館》中提到過，加法就是把兩堆東西歸在一起重新數一遍。就以下面的兩堆蘋果為例，我們數過左邊那堆有2個，右邊那堆有3個，做加法，就是從頭開始數，數出來5個，所以2+3=5。

然而實際操作中，我們無論先數哪一堆，那一堆都已經數過一遍了（否則我們不知道左邊2個，右邊3個），那麼我們就沒必要再從1開始數這一堆，而只需從原先數出來的結論開始直接數另一堆——這樣一來，那個結論就成了一個自然數，而不是數後繼的次數，我們也因此有了一個「被加數」。

所以在那種不區分「被加數」和「加數」的加法中，我們就要從第一個自然數開始數兩次後繼，而在這種詮釋下，第一個自然數就將是0——請讀者們自己思考這是為什麼。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

本文談的加法是自然數加法，以此為基礎推廣開來，我們就能得到所有的加法，這也是很簡單的事情，請讀者們自行思考。另外，本文的闡釋採用了非形式化的語言，讀者在其它地方可能看到更加形式化的表述，或者採用了集合論和應用數學裡常見的做法，將0視為自然數列的起點，也請讀者們比較它們與本文，以及上期《混亂博物館》的異同，這對健康的頭腦是相當有益的實踐。