為什麼1+1=2？

01-26

1+1=2幾乎是一切數學的開端，我們常用它比喻世界上最顯而易見的事情——但在數學的世界裡，顯而易見並不足以說明任何問題，我們一定要深究下去。

與很多人想像的不同，1+1=2並不是一條公理；恰恰相反，它像「三角形內角和等於180°」那樣，需要從公理推導出來——只是算術的公理出現得是如此晚，在長達2000多年的時間裡，我們都渾渾噩噩地直接使用這個「顯而易見」的結論。

像這樣澄清一件最簡單的事情在很多人看來是一種拉普達飛島般的迂腐，但事實恰恰相反：奠基這樣看似簡單的事情，總是決定了大廈最終能有多高。

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以下為視頻文字稿：

1+1為什麼等於2？相信你見過無數遍這個問題了，但它們絕大多數都是訛傳了哥德巴赫猜想：
1742年6月7日，普魯士數學家哥德巴赫在寫給瑞士數學家歐拉的信中提出了一個猜想，可以概述成：「任何大於2的偶數都是兩個質數的和」
這個猜想雖然沒有例外，但要證明它非常困難，在長達160年內都沒有突破性的進展。

直到1919年，挪威數學家偉哥·布朗（Viggo Brun）才用篩法證明了任意大於2的偶數都能表示為兩個數的和，且每個數的質因數不多於9個，記作「9+9」——此後100年里，哥德巴赫猜想的證明就轉化成了減少每個加數的質因數的競賽。
目前最好的結果來自陳景潤，他在1966年證明了任何大於2的偶數都能表示為一個質數和一個質因數不超過兩個的數的和，記作「1+2」，距離終極目標「1+1」彷彿只有一步之遙——這個故事被人以訛傳訛，就變成了「陳景潤證明了1+1=2」這樣啼笑皆非的謠言——不過哥德巴赫猜想並非我們今天關心的內容——我們現在真的要討論一下為什麼1+1 =2，以及這意味著什麼。
這個算式如此顯然，僅僅因為它涉及的數字太小，不妨回憶我們小的時候，在牢記加法表之前，甚至在學會阿拉伯數字之前，加法就是歸在一起，從1開始數一遍——這既是加法的本質，更是自然數的本質。
自然數就是一個一個能數出來的數字，為了明確它的起點，我們規定1是自然數，同時，我們還明確了任何一個自然數的後繼也是自然數，所謂後繼就是下一個數，我們把1的後繼叫做2，2的後繼叫做3，3的後繼叫做4，以此類推——那麼加法就是將幾個集合合併起來，用這種找後繼的方法再數一遍。所以「1+1=2」就是「2」的定義，等於說「1的後繼叫做2」。
但數數也能數出意外——如果你在錶盤上數數，就會發現12的後繼是1，永遠數不出13——為了排除這種情況，我們繼續規定1不是自然數的後繼。

還有更糟糕的情況，如果我們是在玩印度蛇梯棋，剛好走到了蛇頭或者梯子腿上，就能直接跳到另一個位置上——這相當於一個數字有兩種可能的後繼，28的後繼可能是29，也可能是84；或者兩個不同的數字有同一個後繼，34可能是33的後繼，也可能是54的後繼——為了排除這類情況，我們規定了不同的自然數有不同的後繼。
但是拿起一把尺子，我們看到1和2之間還有0.5，3和4之間還有3.6——是啊，相鄰的兩個自然數為什麼必須差1呢？
這是為了保證自然數在性質上的統一，我們的第五條規則就有點兒複雜了：如果將某個性質賦給某個自然數，就能讓這個自然數的後繼也具有這個性質，而1的確具有這個性質，那麼所有的自然數都將具有這個性質。
比如說，如果承認一個自然數的平方不小於自身，就要承認這個自然數的後繼的平方也不小於自身，而1的平方的確不小於自身，那麼所有自然數的平方都不小於自身，那麼所有自然數的平方都不小於自身。

到此為止，我們就認識了定義自然數的所有5條公理，它們合稱「皮亞諾算術公理」，由義大利數學家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano，1858－1932）在1889年總結，是現代數學最基礎的一組公理。特別的，最後一條公理稱作「數學歸納法」，它是數學證明最常用的手段之一，卻也給整個數學埋下了重大的隱患。我們以後再說。