微積分的歷史（六），發展之泰勒公式（下）

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之前說了泰勒公式的來歷，我們這裡繼續說下如何直觀理解泰勒公式的代數形式，以及泰勒公式最重要的收斂半徑。

1 泰勒公式的代數形式

1.1 定義

從泰勒公式的定義開始吧：

設 $n$ 是一個正整數。如果定義在一個包含 $a$ 的區間上的函數 $f$ 在 $a$ 點處 $n+1$ 次可導，那麼對於這個區間上的任意 $x$ 都有： $displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{N}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n+R_ n(x)$ ，其中的多項式稱為函數在 $a$ 處的泰勒展開式， $R_ n(x)$ 是泰勒公式的余項且是 $(x-a)^ n$ 的高階無窮小。
----維基百科

泰勒公式的定義看起來氣勢磅礴，高端大氣。如果 $a=0$ 的話，就是麥克勞倫公式，即 $displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{N}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n+R_ n(x)$ ，簡單起見，我們下面著重討論麥克勞倫公式，可以認為和泰勒公式等價。

多說一句，麥克勞倫公式是泰勒公式非常特殊的一種情況，最早出現的時候麥克勞倫也說了，這個就是來源於泰勒公式的，沒有絲毫創新。不過好像大家都視而不見，直接冠名給了麥克勞倫。歷史上的一筆糊塗帳。不過也好，我們有了一個簡便的名詞「麥克勞倫公式」來進行下面的討論。

1.2 冪函數的特點

麥克勞倫公式： $displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{N}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n+R_ n(x)$ ，不看余項 $R_ n(x)$ ，展開的話就是： $f(0)+f(0)x+frac{f(0)}{2!}x^2+cdots +frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n$ ， $frac{f(0)}{2!}$ 這些都是常數，我們暫時不管，先看看其中最基礎的組成部分，冪函數有什麼特點。

根據觀察可以得到冪函數的特點：

冪函數只有兩種形態，一種關於原點對稱，一種關於X軸對稱
指數越大，增長速度越快

那冪函數要是組合起來，組合成多項式的圖像會是怎麼樣的呢？

我們來動手試試看看通過改變係數可以如何改變圖像：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

可以看出我們通過調整係數，可以讓圖像在 $x^2$ 和 $x^3$ 搖擺，就好像彎鐵絲一樣。如果有更多的冪函數進行組合，只要我們想，還可以彎出一個心形，來送給你（雖然是隱函數，意思一下）：

1.3 用多項式對 $sin(x)$ 進行逼近

通過 $sin(x)$ 舉個例子，幫助你進一步理解。

$sin(x)$ 是周期函數，有非常多的彎曲，難以想像可以用多項式進行逼近。

$sin(x)=x-frac{1}{3!}x^3+cdots +frac{(-1)^ n}{(2n+1)!}x^{(2n+1)}+ R_ n(x)$ 。

同樣的，我們再增加一個 $frac{1}{7!}x^7$ 試試

看到 $frac{1}{7!}x^7$ 在適當的位置，改變了 $x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}x^5$ 的彎曲方向，最終讓 $x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}x^5-frac{1}{7!}x^7$ 更好的逼近了 $sin(x)$ 。

好了我們來動手感受下 $sin(x)$ 如何被多項式逼近的，並且感受一下不同的展開點 $a$ 會導致什麼不一樣：

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2 泰勒公式的收斂半徑

關於泰勒公式，之前有一個同學問了我一個問題：

這個看似簡單的問題，牽扯到一個我認為非常漂亮的數學結論，如果要我說什麼讓我體會到了數學之美，我一定會選擇這個數學結論。

下面我就借著這個問題來講解一下讓我覺得非常動人的這個數學結論。

2.1 什麼是收斂？

泰勒公式可以把可導的函數展開為冪級數：

下面敘述中，我可能把泰勒公式、泰勒級數、泰勒展開這三個名字進行混用，請依據上下文自行判斷（數學看多了，說話寫字都會有點強迫症，希望盡量嚴格些）。

我們對 $f(x)=x^{frac{1}{3}}$ 進行泰勒展開：

2.2 泰勒公式的奇點

什麼叫做奇點？比如對於 $f(x)=x^{frac{1}{3}}$ 這個函數：

不光不可導點是奇點，沒有定義的點也是奇點，比如：

還有一個更奇怪的奇點：

2.3 奇點與收斂圓

通過奇點來判斷泰勒級數的收斂，這就是我說的那個非常漂亮的數學結論，由柯西證明的泰勒級數的收斂半徑：

聽起來有點拗口，而且還涉及到複平面，我們用 $f(x)=x^{frac{1}{3}}$ 這個函數來舉例子：

上面的收斂圓意味著，在實數範圍內做 $f(x)=x^{frac{1}{3}}$ 的話，如果在 $x=5$ 處泰勒展開展開，那麼只有在 $0 < x < 10$ 內的泰勒級數才會收斂：

可以自己動手試試， $A$ 點也是可以拖動的：

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明白了泰勒公式的收斂半徑之後，我們就可以明白：

此時回到我們最初的那個問題：

2.4 複數與實數的關係

回到我們之前挖下的坑， $f(x)=frac{1}{1+x^2}$ 的奇點在哪裡？

很明顯 $x=i$ 時，是 $f(x)=frac{1}{1+x^2}$ 的奇點，因為 $1+i^2=0$ 。我們把奇點和展開點放到複平面上看看：

所以在實平面上的 $f(x)=frac{1}{1+x^2}$ ，雖然奇點不在實平面內，但是依然被奇點所影響，所以其收斂半徑為 $-1 < x < 1$ ：

我們學習的高等數學，都是在實數範圍內，所以導致我很長時間認為複數只是一個表示 $i=sqrt{-1}$ 的一個技巧，而泰勒級數收斂圓向我展示了實數切切實實是複數的一部分，哪怕你只研究實數部分的問題，仍然會被複數所影響。這是我認為它非常美麗的原因。

我們還應該認識到泰勒級數只是對原函數的近似，並且這種近似是有條件的。

2.5 運用泰勒級數估算的技巧

我不喜歡技巧，不過這裡仍然說一下如何合理的估算 $30^{frac{1}{3}}$ 。

首先：

其次：

但是選 $a=30$ 肯定不行，因為泰勒級數第一項就要計算 $f(a)=f(30)=30^{frac{1}{3}}$ ，咱們何必用泰勒級數進行計算？

那選 $a=29$ 行不行？也不好，因為第一項要計算 $f(a)=f(29)=29^{frac{1}{3}}$ ，這個我們也不清楚。

最好就選 $a=27$ ，因為計算 $f(a)=f(27)=27^{frac{1}{3}}=3$ ，下面一項是 $f(a)(x-a)$ 也比較好計算。至於余項的計算這裡就不說了。

3 總結

泰勒公式的應用很多，我這裡花了很大的篇幅闡述了泰勒公式的原理及直觀，希望大家可以舉一反三，更好的解決相關的問題。

我們通過幾何直觀發現了冪級數可以近似表示各種函數，但是最終我們通過代數發現了泰勒公式，這就是代數的洞察力。

之後，我會介紹微積分發展這麼久，一直縈繞在微積分頭上的陰影。