微積分的歷史（三），起源之萊布尼茲

01-26

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1646－1716）,德意志哲學家、數學家，歷史上少見的通才，獲譽為十七世紀的亞里士多德。

牛頓和萊布尼茲都是一時無兩的人物，可是歷史就是愛讓大師扎堆出現（可能也是時勢造英雄吧），所謂一山不容二虎，除非一公一母。這裡就簡單說一下萊布尼茲、牛頓關於爭奪微積分發明權的公案。

牛頓可能是性格上非常害怕批評的人，所以他不是很願意發表自己的發現，怕被人議論。

舉個例子你就知道牛頓這方面的性格有多極端。牛頓在《光與色的理論》中提出光的粒子性，就遭到了認定光具有波動性的英國皇家學會實驗室主任胡克的強烈批評，兩人因此有了相當大的敵意。胡克是個矮個子，所以牛頓寫信給胡克說：「如果說我看得比別人更遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上」。其實這句話的意思是在嘲笑胡克是個矮個子。

甚至因為懼怕批評，所以牛頓在出版他的曠世巨著《自然科學的哲學原理》（就是提出力學三定律的那本書，學界簡稱為《原理》可知其地位）第三卷的時候，故意用數學來寫並且弄得晦澀難懂，因為胡克不懂數學。牛頓的《光學》巨著也是寫成20年後才發表，正好是胡剋死後一年，很難讓人不認為牛頓是在迴避胡克的批評。

羅伯特·胡克（1635－1703），英國博物學家、發明家。我對他的印象就是發明了顯微鏡，並且第一個為「細胞」做出了英文命名（「cell」）。遺憾的是他沒有留下一張真正的肖像畫，上面的也只是後來作家的印象畫。不過他最為出名的事迹還是懟牛頓，大家有興趣可以自行搜索下。

由於牛頓這種性格，所以他關於微積分的一系列發現也沒有發表，而是記錄在筆記裡面。而萊布尼茲樂於發表自己的發現，如果不是因為牛頓在物理上巨大的聲望和在國內崇高的地位（一幫子英國大腕幫忙干架），我看按照現在科學界的規則，微積分的發明權妥妥的屬於萊布尼茲。

因為有證據表明牛頓確實先一步發明微積分，而萊布尼茲還與牛頓通信討論過，甚至看過牛頓未發表的筆記（但是不清楚是在萊布尼茲發明微積分前還是之後），所以關於微積分的發明權一直爭論不休，歐洲大陸普遍還是支持萊布尼茲的（萊布尼茲教出了一幫赫赫有名的學生，比如說伯努利兄弟，這些有影響力的學生以及學生的學生肯定是支持萊布尼茲的），英國索性就不和歐洲大陸進行學術交流了，這也嚴重影響了英國在學術上的進步。

目前的公論是牛頓和萊布尼茲各自獨立發明了微積分，看起來像是微積分發明權爭奪戰之後的和稀泥，但我們仔細研究數學史，就會發現萊布尼茲發明微積分的角度和牛頓很不一樣，所以我覺得這個結論還是比較公允的。

本文就來看一下萊布尼茲發明微積分的角度。

本節內容如下：

萊布尼茲的微積分思想
與近代微積分思想的對比
牛頓-萊布尼茲公式之萊布尼茲

1 萊布尼茲的微積分思想

萊布尼茲的微積分思想非常符合直覺，在實際教學中往往會以他的思想作為教學的模型，所以大家看到下面的講述會感到非常的熟悉（一般不會使用牛頓的微積分思想進行教學，從上一節中可以看到比較繞，現在也只在物理領域可以看到牛頓微積分的痕迹，畢竟牛頓是祖師爺嘛）。

我們來看看萊布尼茲對於微積分幾個關鍵概念的定義。

1.1 積分

萊布尼茲思想的核心是，把積分看作無窮小的加法。

萊布尼茲首先從求和出發：

Sum就是英文求和的意思，當時沒有 $Sigma$ 這個符號。

但是和普通的求和最大的區別是，矩形的底邊長必須為無窮小 $dx$ ，這種情況下的「求和」才能稱為積分：

也是為了以示區別，萊布尼茲把英文的求和「Sum」的第一個字母「S」拉長：

$Sum(f(x)Delta x)implies int _{um} f(x)dx$

簡寫為：

$int f(x)dx$

微積分的標誌 $int$ 的出現向所有人宣告高等數學的來臨（當時沒有不定積分和定積分的區別，現在用的定積分符號是後面傅立葉發明的）。

萊布尼茲這個積分的定義，簡單直接，規避了牛頓對積分定義的種種問題，後面柯西、黎曼都是在這個基礎上完善積分的定義。

1.2 切線

之前說過，求切線也是當時重要的任務。我們來看看萊布尼茲是怎麼求切線的。

首先，關於什麼是切線，萊布尼茲是這麼定義的："求一條切線意味著畫一條直線連接曲線上距離無窮小的兩個點"。

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

萊布尼茲說，定義裡面說的「距離無窮小」就是指的 $dx$ 。

然後為了計算這個切線，萊布尼茲又定義了一個無窮小， $dy$ 是對應 $dx$ 的曲線增量：

同時，萊布尼茲也認為：

然後計算這兩個無窮小的商就可以得到切線的斜率：

1.3 微分

從上面的講解中可以認識到，無窮小在微積分中的重要地位，因此萊布尼茲專門給它們取了名字，就叫做微分。上面說到的 $dx,dy$ 都是微分。

所謂的微積分，就是指把這些微分積起來。

1.4 小結

總結下萊布尼茲的微積分：

積分：關於無窮小的加法
$dx$ ：是無窮小
$dy$ ：即是 $dx$ 對應的曲線增量，也是 $dx$ 對應的切線增量
切線：通過無窮接近的兩個曲線上的點來定義
導數：兩個無窮小之商， $frac{dy}{dx}$

2 與近代微積分思想的對比

萊布尼茲的微積分思想非常直觀，可能初學微積分的時候老師或者教材都會按照萊布尼茲的思想來給我們介紹什麼是微積分，可惜它有一個致命問題，無窮小是什麼？

2.1 無窮小是什麼？

萊布尼茲的整個微積分都是基於無窮小的，但是很顯然萊布尼茲沒有辦法給出一個正確、並且嚴格的定義。

對於無窮小，比如 $dx$ 是什麼，萊布尼茲也很不明確的。他說，你可以把 $dx$ 看作最短、最微小的長度。

但是這個很明顯不正確，比如我們把 $dx$ 這個長度看成一個非常小的正數，那麼一定有 $frac{dx}{2} < dx$ ，就說明不存在最小的正數。

2.2 現代微積分觀點

其實萊布尼茲的思想基本都是正確的，我們只是需要修正無窮小的定義。

本來應該在系列文章中抽絲剝繭的慢慢引入現代微積分觀點，但是本文定位於《高等數學》的課外讀物，為了避免讀者混淆了觀念，我在這裡就對現代微積分觀點進行一個闡述，以資比較。不過一些細節會在後面章節展開。

畢竟我們不是偵探小說，沒必要看到最後才發現：「原來Boss是他！」

2.2.1 切線

現代的切線的定義也是繼承了萊布尼茲的思想，曲線上兩點無限的接近：

但是和萊布尼茲不一樣的是，這種無限接近是通過極限來描述的，我們可以通過極限來計算出切線的斜率（這樣就即表達了萊布尼茲想描述的無限接近，又避開了無窮小是一個數這個坑）：

2.2.2 微分是什麼？

為了方便觀察，我放大點，這一幅圖說明了 $Delta x,Delta y,dx,dy$ 四者之間的關係。

從圖中可以看出，導數也可以表示為 $displaystyle y=frac{dy}{dx}$ ，這看起來也繼承了萊布尼茲的符號，雖然背後的含義有所不同了。

順便說下，我們依然有 $displaystyle lim _{Delta x o 0}dy=0,lim _{Delta x o 0}dx=0$ ，所以 $dy,dx$ 依然是嚴格意義上的無窮小，不過我們現在稱為「無窮小量」。

2.2.3 以直代曲

我們注意到， $Delta x=x-x_0$ （假設切點橫坐標為 $x_0$ ），實際上是一個函數，那麼 $dy=f(x_0)dx$ 實際上也是一個函數，其實它就是切線的函數：

我更喜歡把 $dy$ 看作切線，而不是看作增量，因為這正是微積分最重要的思想，「以直代曲」：

運用微積分的「以直代曲」思想，你會發現很多微積分的結論就很合理了。我們後面慢慢展開。

這裡舉一個簡單的例子，如果理解了一元的微分是根直線，那麼我們可以很合理的期待二元的全微分是個平面（因為平面才能近似一點附近的曲面）：

我們在多元微積分中可以看到，全微分的方程確實是一個平面方程。

圍繞「以直代曲」這個核心，就可以把知識給串聯起來，建立微積分的大局觀。

我有一篇回答對於萊布尼茲的微積分和現代的微積分之間的區別有更多的細節描述，可以點擊過去觀看，以作參考。

2.2.4 積分

現代的觀點裡面，積分不再是矩形的和了，而是黎曼和的極限，這點我就不展開了，我後面會具體講到。

2.3 小結

總結下近代的微積分：

積分：黎曼和的極限
$dx$ ： $Delta x$
$dy$ ： $dx$ 對應的切線增量，或者說是切線
導數： $displaystyle y=lim _{Delta x o 0}frac{Delta y}{Delta x}$
切線：根據導數來做出切線

3 牛頓-萊布尼茲公式之萊布尼茲

1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。牛頓和萊布尼茲兩人共同享有這個公式的命名，以他們在世時水火不容的情況看，不知道這二位是否願意名字並排在一起。

我們來看看萊布尼茲是怎麼推導這個公式的（我沒有見過具體推這個公式的手稿，下面是我根據萊布尼茲發明微積分的思路揣測的）：

之前我們說過，對於萊布尼茲而言， $dx$ 對應的曲線增加就是 $dy$ ，所以：

至此，我們可以得到 $f(b)-f(a)=sum dy$ ，之前我說過 $dy=f(x)dx$ （對於萊布尼茲這個公式也是成立的），所以有：

$f(b)-f(a)=sum f(x)dx=int _ a^ b f(x)dx$

$f$ 是 $f$ 的原函數，從而我們又一次得到了牛頓-萊布尼茲公式。

4 結論

牛頓和萊布尼茲把微積分變成一門學科，完成了普遍性或者說抽象性的工作：

微積分的思想脫胎於幾何學中的「窮竭法」，但是微積分的思想在兩位大師的手中開始獨立於幾何，這是邁向普遍的第一步
微積分開始獲得了代數的基礎，也就獲得了巨大的生命力
之前我提到的4類問題，速度、切線、面積、最值，都被微積分統一解決，展現了微積分威力

微積分這門學科開始有了名分，後面需要更多大師來提供各種微積分的技術、解決實際的各種問題，才能讓這門學科發揚光大。

後面我就會講一講微積分的技術發展。