微積分的歷史（二），起源之牛頓

01-26

艾薩克·牛頓（1643 - 1727），偉大的物理學家、數學家、天文學家、自然哲學家和鍊金術士。在2005年更是力壓愛因斯坦，被評為「科學史上最有影響力的人」。

牛頓研究微積分，主要還是為了物理上的計算服務的，我們來看下牛頓是怎麼推導微積分的

本節會講到以下一些內容：

牛頓的微積分
牛頓微積分的一點問題

1 牛頓的微積分

牛頓歸納微積分的整體思路是：

證明求導是不定積分的逆運算，即微積分第一基本定理（《高等數學》同濟版為求積分上限函數的導數）
進而推出牛頓-萊布尼茲公式，即微積分第二基本定理

我們來看看是怎麼做的。

1.1 微積分第一基本定理

牛頓嘗試證明下面這個結論：

試證： $frac{d}{dx}int _0^ x x^ ndx=x^ n$

首先我們來看一下 $int _0^ x x^ ndx$ 是什麼？

已知， $x^ n$ 函數曲線下， $[0,a]$ 區間的面積為：

如果把上限 $a$ 換為 $x$ ，那麼曲線下面積就為一個函數，我們稱為積分上限函數：

定義了 $F(x)=int _0^ x x^ ndx$ 之後，我們來看看牛頓的思路，分為兩個步驟：

下面我會分別介紹這兩個步驟，從這兩個步驟我們可以分別看出：

步驟一，推出微積分第一基本定理
步驟二，展示一下牛頓是怎麼求解導數的

1.1.1 步驟一

在當時，導數這個詞還沒有，不過有一個等價的詞，就是變化率，因此牛頓就從求 $F(x)$ 的變化率出發。為了求變化率，牛頓是這麼思考的：

以 $Beta$ 為底做一個矩形，使得它面積等於 $DBeta delta$ ：

可以看出 $o$ 越小， $DBeta delta$ 的面積越接近 $of(x)$ 的乘積，可以拖動 $delta$ 點試試：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

牛頓斷言，當 $o$ 足夠小的時候， $DBeta delta =of(x)$ ：

即 $o$ 足夠小， $F(x)$ 關於 $o$ 的增量為 $of(x)$ ，根據變化率的定義（牛頓在物理學裡面求瞬時速度的時候就是這麼算的），可以得到：

$dot{F(x)}=frac{of(x)}{o}=f(x)$

其中，牛頓稱 $dot{F(x)}$ （注意頭上有個小點）為 $F(x)$ 的流數（這裡流數就是指的變化率），也就是現在的導數 $F(x)$ 。

至此：

實際上到了這裡已經得出了微積分第一基本定理：

$frac{d}{dx}F(x)=frac{d}{dx}int _0^ x f(x)dx=f(x)$

從這裡可以看出，面積函數 $F(x)=int _0^ x f(x)dx$ 實際上是 $f(x)$ 的一個原函數，如果改變積分下限的話，可以得到 $f(x)$ 的所有原函數（如果 $F(x)$ 的值域為 $mathbb {R}$ 的話）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

1.1.2 步驟二

下面就是要計算出 $f(x)$ 等於多少了。

上一節我說過，費馬和卡瓦列里計算出了：

$int _0^ a x^ ndx=frac{a^{n+1}}{n+1}$

替換一下就可以得出：

$int _0^ x x^ ndx=frac{x^{n+1}}{n+1}$

基於此結論，牛頓繼續推了下去（二項式指的是 $n$ 為自然數，而廣義二項式指的是 $n$ 為有理數，廣義二項式公式是牛頓非常得意的一個數學推論）：

證明完畢：

1.2 牛頓-萊布尼茲公式

順著積分第一基本定理出發，要推出了大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式（微積分第二基本定理）就很容易了。

也就是:

積分第二定理最大的意義是大大簡化了運算。

比如在有這個公式之前，已知 $int _0^ a x^ ndx=frac{a^{n+1}}{n+1}$ ，並且有 $displaystyle sin(x)=sum _{k=0}^{infty }frac{(-1)^ k}{(2k+1)!}z^{2k+1}$ （牛頓當時計算出了這個 $sin$ 的冪級數展開），所以要計算 $sin(x)$ 的積分，就需要對 $sin(x)$ 的冪級數逐項積分，然後計算級數的和，這是非常需要技巧的。

1.3 手稿

下面是牛頓的手稿，可以讓我們看看微積分青澀的模樣：

一門學科草創之初，其實是非常混亂的。上面的證明過程都是我用現代語言該寫過的，否則看起來還是挺費勁的。實際上微積分還要過兩三百來年才能變得接近現在的模樣，更加通俗易懂。

2 牛頓微積分的一點問題

牛頓的推導中有一個致命的問題，在之前推導 $f(x)$ 到底是多少的時候：

但這個問題超越了當時所有數學家的能力極限，需要在很久以後才得到真正的解答，我們先來看看可以解決的另外一些問題。

牛頓的微積分是從微積分第一基本定理開始的：

$frac{d}{dx}F(x)=frac{d}{dx}int _0^ x f(x)dx=f(x)$

進而推出了以下一些概念：

導數：變化率
不定積分：導數的逆
定積分：也就是曲線下面積，通過不定積分來進行計算

但是牛頓有三個問題沒有給出答案，其一：

其二：

其三：

是不是所有原函數都可以寫成積分上限函數？

2.1 問題一

因為積分上限函數是定積分的推廣，所以 $f(x)$ 可積，則 $F(x)=int _0^ x f(x)dx$ 存在。

我們現在知道，《高等數學》同濟版給出了兩個可積的充分條件：

設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，則 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積
設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限個間斷點，則 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積

至於充要條件，我會在這個系列文章的最後給出。

2.2 問題二

籠統來說，如果 $f(x)$ 連續，則 $F(x)=int _0^ x f(x)dx$ 可導。

更進一步，可以通過下面的原函數存在定理來證明。

試證明：含有一類間斷點、無窮間斷點的函數 $f(x)$ 在包含該間斷點的區間內必沒有原函數 $F(x)$ 。證：假設 $F(x)$ 為 $f(x)$ 的原函數 $implies F(x)=f(x)$ ，設 $x=x_0$ 為間斷點，分情況討論： (1) 設 $x=x_0$ 為第一類可去間斷點，有 $displaystyle lim _{x o x_0}f(x) eq f(x_0)$ 。而 $displaystyle F(x_0)=lim _{x o x_0}frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}$ ，使用洛必達法則得到 $displaystyle F(x_0)=lim _{x o x_0}F(x_0)$ ，即 $displaystyle lim _{x o x_0}f(x)=f(x_0)$ ，矛盾，所以 $F(x)$ 不存在。第一類跳躍間斷點和無窮間斷點同理可證。