若我見到你，只需要42分鐘

如果你在地球的某一端，而我想要見到你，需要多久呢？

大一物理系的學生在學習力學時可能會遇到這樣一個習題：假設一個完全均勻的球體，沿著任意一根弦挖一條隧道。在只考慮引力的光滑隧道情況下，小球以靜止狀態從一頭落下，到達另一頭需要花多少時間？

想要做出這個習題，只需要利用萬有引力的平方反比公式和一些微積分知識就可以了。具體的積分演算法涉及到大量推導運算，而聽說每列一個公式就會少一半讀者，因此這裡就不詳細列出了。不過在一些基本的代換和積分之後，你會驚訝地發現，小球在隧道內和單擺一樣，會作出簡諧振動。單程所需要的時間等於(3/4*π/(G*ρ))^(1/2)，其中G是萬有引力常數，ρ是球體的密度。這個時間和隧道長度無關，和隧道通不通過地心是不是直徑也沒有關係。換言之，你大可以把地球的平均數據代進去。得到的結果是：在這樣一個理想的均勻地球隧道模型中，當你想從地球上的任何一點移動到另一點時，都只需要2530秒，約合42.17分鐘。

當然，這樣的一種交通方式在現實中要考慮地球自轉、空氣阻力、摩擦力、接近地心時人體是否能承受得住高溫和高速以及這種隧道怎麼挖誰去挖的問題。不過，這並不妨礙人們對此作出遐想。19世紀法國科學家就認真考慮過這種基於重力的交通方式，劉易斯·卡羅爾（對，就是寫《愛麗絲漫遊仙境》的那位）在《色爾維和布魯諾》(Sylvie and Bruno)裡面也提到過這個概念。對中國讀者來說，劉慈欣的《地球大炮》可能是更熟悉的一個例子。

順帶一提，對均質地球而言，當隧道並非直徑時，最快的移動方案並不是走直線弦而是圓內擺線，這樣移動時間會小於42分鐘。此外，考慮到地球內部不同殼層的密度分布有明顯的階梯變化，並非均質，這樣算下來，通過直徑隧道只需要38分鐘。

相思形色露

四十二分鐘之旅

投身巨淵中

cite：How Long Would It Take to Fall Through the Earth?

PS：本篇的靈感來源需要感謝網友「悠哉悠哉」

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