Module 22：GLM推斷和T檢驗

01-26

筆記來自於一個已被原課程授權的公益性mooc筆記製作小組，詳情請見專欄索引
請注意：可以轉載我們的筆記，但必須要註明出處：摘自知乎專欄「原來大腦是這麼工作的」專欄！並且附上原網址。
如果你也想加入我們的筆記小組，就私信給@萌康或者 @李競捷吧~~~
PS 原課程網址為Coursera <Principles of fMRI 1>
筆記配上視頻課程更佳哦~~~兩個教授都超級萌的（捂臉）

在week3的最後一節課，我們要講的是在GLM框架內進行的推斷（inference）。

我們在建立了GLM模型之後，我們用估算出來的參數來判斷體素上是否存在顯著激活，因此我們所作的推斷是基於我們估算的β（hat）是呈正態分布的：

利用這一點，我們可以使用t檢驗或F檢驗來檢驗我們感興趣的效應。

正如我們在之前的課程中所講的，我們常常使用各種參數的線性結合併檢驗其顯著性，所以這些都是對比（contrasts）。

而c轉換β（cTβ）就定義了參數的一種線性結合：

在這裡，c就被稱為對比矢量（contrast vector）。

為了講清楚上面我們說的這些公式，我們來看下面的事件相關實驗，該實驗共有兩種刺激（條件A和條件B），據此我們可能會構建出以下的GLM模型：

圖1 GLM模型

模型中有β1×基線（×是乘號），β2×條件A與HRF的卷積，β3×條件B與HRF的卷積，再加上雜訊。

這是一個簡化的GLM模型，實際中條件A和B會重複更多次。

那麼我們到底想做出怎樣的推斷呢？

也許我們感興趣的是找出在條件A和B下有顯著差異的腦區，因此從統計上來說，我們就是想要檢驗虛無假設（H0：β2=β3）。而從對比的角度來說，我們也可以把

作為我們的虛無假設，在這個例子中，就會有

，因為我們給β1的權重是0，給β2的權重是2，給β3的權重是-1，因此就會得出cT=β2-β3=0，也就是說β2=β3。

那麼我們要怎樣來進行檢驗呢？

我們的虛無假設是

，我們應該用t檢驗：

，因此我們唯一要考慮的事情是，基於H0，T約等於t分布，其自由度取決於r和V：

如果我們這樣計算，我們可以得出H0下的t分布並檢驗這個假設。

我們也經常會想要同時做出幾種對比的檢驗，這樣c就變成了對比矩陣（contrastmatrix）假設c是這樣的：

，那我們就會得出：

。然後我們想要檢驗出這兩個是否一樣都等於0。

我們舉個栗子來講一下：

圖2 栗子

看著這個栗子，腦子裡面想想，有一個模型，它有呈矩形的激活和用離散餘弦基（discrete cosine basis）調整過的漂移（drift），其實這個模型我們已經反反覆復用了好幾個module了哈哈（這有啥好笑的，做筆記做瘋了吧。。。）。

第一列對應的是呈矩形的激活，第二列對應的是基線，第三到第九列對應離散餘弦基組。

而現在我們可能會對這個問題感興趣：這些漂移對模型是否造成了影響？

既然如此，我們還是要檢驗這個假設：

，在這裡，c表示的只是漂移成分：

，其中每一行代表著我們想要檢驗的成分，看看它們是否都等於0。因此，當β3到β9都等於0時，漂移對模型沒有任何影響。這就是我們怎麼用數學方法將其形式化（formalize）。

下面的這個等式是為了檢驗β3到β9是否都等於0：

，如果這個等式成立，那麼離散餘弦基組與任何一個β都沒有顯著關聯，因而也就不存在漂移。

為了搞懂上面的這個等式的意思，我們把設計矩陣分割呈兩部分，其中之一是X0，對應前兩列，也就是基線，它與信號一樣重要；再者是X1，對應離散餘弦基組，它們對於模型是不必要的，所以X1可能是多餘的：

因此我們把上面的問題轉化成了X1到底對模型造成了多大的影響。所以我們一般會用一個包含了X1的全模型（full model）達到將結果與全設計矩陣X比較的目的，這個全設計矩陣X包含了削減了的模型（去除了X1，只包含X0）。而其中的觀點就是如果X0（削減了的設計矩陣）能夠與我們的全設計矩陣X（包含X0和X1）在數據建模方面能夠做得一樣好，這樣就不用計算漂移成分了，因為我們直接用削減了的設計矩陣X0就夠了（這也就間接說明X1並沒有什麼卵用）。

然後再來看F檢驗：