拉普拉斯運算元的特徵值問題（0）

01-26

（三維）拉普拉斯運算元 $Delta =frac{partial^2}{{partial x_1}^2}+frac{partial^2}{{partial x_2}^2}+frac{partial^2}{{partial x_3}^2}$ 的特徵值方程（亥姆霍茲方程）

$-Delta u=lambda u$ $xin Omega$ (1)

配上狄利克雷邊界條件

$u=0$ $x in partial Omega$ (2)

或諾依曼邊界條件

$frac{partial u}{partial n}=0$ $x in partial Omega$ (3)

構成了一個特徵值問題。注意為了方便，我們在方程中引入了一個負號，研究的實際上是 $-Delta$ 的特徵值。

其中 $Omega$ 是 $R^3$ 中的一個開的有界區域， $partial Omega$ 是它的邊界。 $u(x)$ 是 $Omega cup partial Omega$ 上的函數。 $frac{partial u}{partial n}$ 是 $u$ 沿邊界法向的導數。

對於古典解，也就是使上面方程按照「字面意義」成立的解 $u$ ，我們還要求它滿足合適的連續和可導條件，使方程中的每一項都有意義。當然對於諾依曼問題，邊界也要足夠光滑使得 $frac{partial u}{partial n}$ 有意義。

現在要問這樣的問題：

相應特徵值小於等於 $lambda$ 的獨立特徵函數個數 $N(lambda)$ ，當 $lambda o +infty$ 時有著什麼樣的漸進關係？

對於長方形區域，可以使用分離變數法，顯式地解出所有本徵函數。對於兩個邊界條件，都有 $N(lambda)$ 有限，而且：

$lim_{lambda ightarrow +infty }{N(lambda)}sim frac{lambda ^{frac{3}{2}}V}{6pi ^2}$ ，即 $lim_{lambda ightarrow +infty}{frac{N(lambda)}{frac{lambda ^{frac{3}{2}}V}{6pi ^2} }}=1$

成立，其中 $V$ 是長方體的體積。這個系列文章將對於物理系學生，逐步引入所需要的偏微分方程最基本的工具，證明這一點可以推廣到任意的區域 $Omega$ 。

（但是不保證會堅持寫完TAT另外儘管如此也許還是會默認讀者掌握一些物理系不學的數學）

在敘述完這個問題後，我想談一下這個問題的動機。

我們在黑體輻射問題時，會解空腔內部的電磁波的振動模式。然後得到單位頻率內的模式數 $dN/d u$ 。這個問題就會被歸結到拉普拉斯方程特徵值的漸進分布。在物理課中遇到這個問題時，我們會簡單地假設空腔是一個長方體，做出解答。之後我們會使用熱力學第二定律證明任意形狀的空腔，都具有相同的黑體輻射譜。然而，既然這個問題已經變成了純粹的數學問題，可以預見它應該有完全依賴數學的證明；這個證明將會驗證熱力學第二定律在這個問題上的正確性。

（熱力學第二定律給出了這樣一個數學上不那麼平凡的結果，還是很有意思的）

這個問題只需要最基本的偏微分方程知識。我找到的這個證明來自於Strauss的PDE課本；但是為了這本書沒有引入索波列夫空間，證明中所有相關內容都被直接跳過，因此它的嚴密性註定要用到其它的課本補充；對於已經熟悉索波列夫空間的人來說，這些內容都是很容易補完的，所以感興趣而等不及我講完的讀者可以直接去找這本書。

第零節的最後，給出 $Omega$ 是長方體時的證明。相比於物理課本的證明，這裡嚴格地論證了格點數「趨於」體積這個事實。這個結論將在後面用到。

考慮長方體 $Omega=left{ x=(x_1,x_2,x_3) in R^3 | 0<x_1<a, 0<x_2<b,0<x_3<c ight}$ 。利用標準的分離變數法，可以得到 $-Delta$ 的特徵函數（可以差一個任意常數因子）：

$u_{n_1 n_2 n_3}(x)=sin{frac{n_1 pi x_1}{a}}sin{frac{n_2 pi x_2}{b}}sin{frac{n_3 pi x_3}{c}}$ 對於狄利克雷邊界條件， $n_1,n_2,n_3 in N^*$

$u_{n_1 n_2 n_3}(x)=cos{frac{n_1 pi x_1}{a}}cos{frac{n_2 pi x_2}{b}}cos{frac{n_3 pi x_3}{c}}$ 對於諾依曼邊界條件， $n_1,n_2,n_3 in N$

相應的特徵值 $lambda=frac{pi^2n_1^2}{a^2}+frac{pi^2n_2^2}{b^2}+frac{pi^2n_3^2}{c^2}$ 。

根據傅里葉級數的性質，在每一個邊界條件下，這些特徵函數分別構成了 $Omega$ 中的平方可積函數 $L^2(Omega)$ 的一個正交（未歸一化）完備基底。而很容易證明，在同一邊界條件下的兩個特徵函數在 $L^2$ 意義下是正交的（特徵值相同時總可以人為選擇令其正交）。因此每一組特徵函數，都是該邊界條件下全部的特徵函數。

因此，特徵值小於等於 $lambda$ 的特徵函數個數，等於閉橢球

$frac{pi^2y_1^2}{lambda a^2}+frac{pi^2y_2^2}{lambda b^2}+frac{pi^2y_3^2}{lambda c^2}=1$

在 $y_1,y_2,y_3>0$ （狄利克雷）或 $y_1,y_2,y_3 geq 0$ （諾依曼）範圍內的整點個數。下面我們證明在 $lambda o +infty$ ，整點個數與橢圓體積是等價無窮大。

注意到這樣的事實：對每一個在 $y_1,y_2,y_3>0$ 區域的格點 $(n_1,n_2,n_3)$ ，它在閉橢球的內部，當且僅當邊長為1的正方體

$left{ y=(y_1,y_2,y_3)in R^3|n_1-1leq y_1leq n_1, n_2-1leq y_2leq n_2,n_3-1leq y_3leq n_3 ight}$

$(n_1,n_2,n_3)$ 完全被閉橢球包含。不同格點相應的正方體兩兩互異，且都在橢球 $y_1,y_2,y_3 geq 0$ 的部分內。因此有 $N_D(lambda)leq frac{1}{8}Gamma$ （下標D指狄利克雷邊界條件， $Gamma$ 指橢球 $frac{pi^2y_1^2}{lambda a^2}+frac{pi^2y_2^2}{lambda b^2}+frac{pi^2y_3^2}{lambda c^2}=1$ 體積 $Gamma=frac{4}{3}pifrac{{lambda}^{frac{3}{2}}abc}{pi^3}=frac{4{lambda}^{frac{3}{2}}V}{3pi^2}$ ，其中 $V$ 是長方體空腔的體積）。

同樣地，對每一個在 $y_1,y_2,y_3 geq 0$ 區域的格點(n_1,n_2,n_3)，在閉橢圓內部，當且僅當邊長為1的正方體

$left{ y=(y_1,y_2,y_3)in R^3|n_1leq y_1leq n_1+1, n_2leq y_2leq n_2+1,n_3leq y_3leq n_3+1 ight}$

與閉橢圓的交集非空。而這些正方體覆蓋了整個橢球 $y_1,y_2,y_3 geq 0$ 的部分。因此有 $N_N(lambda)geq frac{1}{8}Gamma$ （下標N指諾依曼條件）。

注意到 $0leq N_N(lambda)-N_D(lambda)leq (p_1+1)(p_2+1)+(p_2+1)(p_3+1)+(p_3+1)(p_1+1)$ ，其中 $p_1,p_2,p_3$ 是橢球三個半軸長。注意不等式最右端是 $lambda$ 同階的無窮大，記作 $O(lambda)$ 。因此我們有 $frac{1}{8}Gamma -O(lambda)leq N_D(lambda)leq frac{1}{8}Gamma$ ，兩邊除以 $Gamma$ 後令 $lambda o +infty$ 。注意 $Gamma$ 與 ${lambda}^frac{3}{2}$ 成正比，因此 $lim_{lambda ightarrow + infty}{frac{O(lambda)}{Gamma}}=0$ 。因此不等式最左端和最右端極限都是 $frac{1}{8}$ 。根據兩邊夾定理我們得到 $lim_{lambda ightarrow +infty}{frac{N_D}{Gamma }}=frac{1}{8}$ 。同樣地， $lim_{lambda ightarrow +infty}{frac{N_N}{Gamma }}=lim_{lambda ightarrow +infty}{frac{N_D}{Gamma }+frac{N_N-N_D}{Gamma}}=frac{1}{8}+0=frac{1}{8}$ ，其中 $lim_{lambda ightarrow +infty}{frac{N_N-N_D}{Gamma}}=0$ 因為 $0leq frac{N_N-N_D}{Gamma} leq frac{O(lambda)}{Gamma}$ 而 $lim_{lambda ightarrow +infty}{frac{O(lambda)}{Gamma}} =0$ 。

將 $Gamma$ 的表達式帶入，可以得到我們想要的結果 $lim_{lambda ightarrow +infty }{N(lambda)}sim frac{lambda ^{frac{3}{2}}V}{6pi ^2}$ ，對於兩種邊界條件都成立。