抽樣分布篇之四：戈塞特和t-分布

中心極限定理給大樣本數據的分析帶來了極大的方便，人們可以不必過於糾結總體的分布到底如何，只需針對均值或和用正態分布進行近似分析就能夠獲得較好的結果，在實際應用中節約了大量的計算工作量。

但在樣本量較小時，運用中心極限定理近似計算所帶來的誤差就比較明顯了。在20世紀初，以卡爾·皮爾遜、戈塞特、費歇爾(費雪)為代表的一批統計學家針對小樣本分析進行了研究，從而開創了現代數理統計學的發展，使得20世紀統計學取得了超越歷史任何時期的豐厚的成果，各行各業都獲益於此。

從本篇開始，分別介紹這三位卓越的統計學家的貢獻。他們成果的介紹可謂汗牛充棟，所以我也不試圖介紹這些分布是如何推導出來的，只是簡單介紹一下他們的研究過程。本來的想法是套用一下某些公眾號那種一驚一乍的寫作風格，無奈實在搞不來，所以寫得一點都不生動有趣，感興趣的您就硬著頭皮讀下去，不感興趣的請飄過。

本篇先介紹一下戈塞特以及t-分布。

戈塞特(William Sealey Gosset)，英國統計學家，1899年畢業於溫切斯特學院和後來的牛津大學新學院，學習化學和數學。其後進入位於都柏林的吉尼斯父子釀造廠(對！就是那個現在到處搞世界紀錄認證的吉尼斯)，擔任釀造化學技師，從事統計和實驗工作。

在吉尼斯，戈塞特處理了這樣一個問題：麥芽漿準備發酵的時候，需要仔細地測量所用酵母的量，酵母是活的有機體，酵母培育需要保持鮮活，加入麥芽漿前它在瓶中的液體里繁殖。工人們得測量清楚某個給定的瓶中有多少酵母，以便決定用多少液體，它們提取一定量的液體，在顯微鏡下檢驗，計量他們所看到的酵母細胞數。這種測量有多精確？了解這一點是很重要的，因為麥芽漿中所用的酵母數應該精確地控制。酵母太少，發酵不充分；太多了，啤酒又會發苦。

由於酵母是活的，而細胞不斷地分裂和繁殖，很難準確測量酵母的數量，在某種意義上，真正存在的是單位液體中酵母細胞的概率分布。戈塞特檢驗了數據，確定酵母細胞的數量可以用所知的泊松分布來描述，確定了樣本中的活酵母細胞數服從泊松分布，戈塞特就能夠設計規則和測量方法，從而得到對酵母細胞濃度更為精確的測量。用戈塞特的方法，吉尼斯能夠生產質量更穩定的啤酒。

1904年戈塞特將這一成果寫成他的第一篇報告《誤差法則在釀酒過程中的應用》，並發表在卡爾·皮爾遜主編的《生物統計》中。

1906年，戈塞特說服了他的老闆，到高爾頓生物統計室在卡爾·皮爾遜門下脫產學習一年。他著重關心的是由人為試驗下所得的少量數據的統計分析問題，在當時這是一個全新的課題，因為當時統計學中佔主導地位的卡爾·皮爾遜學派強調的是由自然觀察得來的大量數據的統計處理。根據戈塞特的經驗，科學家很少能奢華到有如此大的樣本，更為典型的實驗通常能夠看到10到20個觀測數據，他還理解到，這種現象在所有的學科中都很普遍。

戈塞特在釀酒公司工作中發現，供釀酒的每批麥子質量相差很大，而同一批麥子中能抽樣供試驗的麥子又很少，每批樣本在不同的溫度下做實驗，其結果相差很大。這樣一來，實際上取得的麥子樣本，不可能是大樣本，只能是小樣本。可是，從小樣本來分析數據是否可靠？誤差有多大？小樣本理論就在這樣的背景下應運而生。1907年戈塞特決心把小樣本和大樣本之間的差別搞清楚。為此，他試圖把一個總體中的所有小樣本的平均數的分布刻畫出來，具體做法是，在一個大容器里放了一批紙牌，把它們弄亂，隨機地抽若干張，對這一樣本做實驗記錄觀察值，然後再把紙牌弄亂，抽出幾張，對相應的樣本再做實驗觀察，記錄觀察值。大量地記錄這種隨機抽樣的小樣本觀察值，就可藉以獲得小樣本觀察值的分布函數。若觀察值是平均數，戈塞特把它叫做t-分布函數。

1908年，戈塞特將其研究成果撰寫成論文《均值的或然誤差》，卡爾·皮爾遜急於將之付印於他的期刊《生物統計》上。但因為幾年前，吉尼斯一位優秀的釀造師寫了一篇文章，其中泄露了他們某個釀造過程的秘密成份。為了避免進一步損失，吉尼斯禁止它的僱員發表文章。在這種情況下，他們決定用匿名的方式發表文章。於是，戈塞特用「學生(Student)」為筆名發表了論文，這個筆名一直用到他1937年去世，在此期間吉尼斯一直不知道這個「學生」就是戈塞特。

這篇論文開創了小樣本統計理論的先河，為研究樣本分布理論奠定了重要基礎。被統計學家譽為統計推斷理論發展史上的里程碑。戈塞特這項成果，不僅不再依靠近似計算，而且能用所謂小樣本來進行推斷，並且還成為使統計學的對象由集團現象轉變為隨機現象的轉機。換句話說，總體應理解為含有未知參數的概率分布(總體分布)所定義的概率空間；要根據樣本來推斷總體，還必須強調樣本要從總體中隨機地抽取，也就是說，一定要是隨機樣本。

下面就讓我們看看t-分布是什麼樣子的。其概率密度函數為：

其中ν為自由度(以後再解釋)，Γ為伽馬函數。

當n為正整數時，則有

這個函數比較複雜，也沒有必要記住它。t-分布曲線如下圖

t-分布與標準正態分布相比，有以下異同點。

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